Страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.13. Три окружности одинакового радиуса попарно касаются друг друга. Докажите, что их центры являются вершинами пра-вильного треугольника.

20.14. Могут ли попарно касаться три: а) три окружности

Пусть даны три окружности с центрами в точках $O_1, O_2, O_3$ и одинаковым радиусом, который мы обозначим как $r$.

По условию задачи, окружности попарно касаются друг друга. Это означает, что первая окружность касается второй, вторая — третьей, а третья — первой.

Рассмотрим две любые касающиеся окружности, например, с центрами в $O_1$ и $O_2$. Согласно свойству касающихся окружностей, их точка касания лежит на линии, соединяющей их центры. Расстояние между центрами двух внешне касающихся окружностей равно сумме их радиусов.

Поскольку радиусы всех окружностей равны $r$, расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ (длина стороны $O_1O_2$ треугольника) равно:

$O_1O_2 = r + r = 2r$

Аналогично, для пары окружностей с центрами в $O_2$ и $O_3$, которые также касаются друг друга, расстояние между их центрами (длина стороны $O_2O_3$) равно:

$O_2O_3 = r + r = 2r$

И для последней пары касающихся окружностей с центрами в $O_3$ и $O_1$, расстояние между их центрами (длина стороны $O_3O_1$) составляет:

$O_3O_1 = r + r = 2r$

Таким образом, мы получили, что все три стороны треугольника $\triangle O_1O_2O_3$, вершинами которого являются центры окружностей, равны между собой:

$O_1O_2 = O_2O_3 = O_3O_1 = 2r$

Треугольник, у которого все стороны равны, по определению является правильным (равносторонним). Следовательно, центры трех попарно касающихся окружностей одинакового радиуса являются вершинами правильного треугольника. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Треугольник, образованный центрами окружностей, является правильным, так как все его стороны равны удвоенному радиусу окружностей ($2r$).

20.14. Могут ли попарно касаться друг друга:

а) три окружности;

б) четыре окружности;

в) пять окружностей?

а) Да, три окружности могут попарно касаться друг друга. Мы можем расположить их на плоскости так, чтобы каждая касалась двух других. Центры этих трех окружностей образуют треугольник. Если радиусы окружностей равны $r_1, r_2, r_3$, то стороны треугольника, образованного их центрами, будут равны $r_1+r_2$, $r_2+r_3$ и $r_3+r_1$. Такое расположение всегда возможно. Пример показан на рисунке ниже.

Ответ: да, могут.

б) Да, четыре окружности также могут попарно касаться друг друга на плоскости. Один из способов это представить — взять три попарно касающиеся окружности из пункта а) и вписать в криволинейный треугольник, образованный ими, четвертую окружность. Эта четвертая окружность будет касаться каждой из трех исходных. Таким образом, все четыре окружности будут попарно касаться друг друга. Эта задача известна как частный случай задачи Аполлония, а получающиеся окружности иногда называют окружностями Содди.

Ответ: да, могут.

в) Нет, пять окружностей на плоскости не могут попарно касаться друг друга. Это можно доказать с помощью теории графов.
1. Сопоставим каждой окружности вершину графа.
2. Если две окружности касаются, соединим соответствующие им вершины ребром.
3. Если бы пять окружностей попарно касались друг друга, то соответствующий им граф был бы полным графом с 5 вершинами ($K_5$), где каждая вершина соединена ребром с каждой другой вершиной.
4. Граф, построенный на основе касающихся на плоскости окружностей (его называют графом касаний или графом монет), всегда является планарным. Планарный граф — это граф, который можно изобразить на плоскости так, чтобы его ребра не пересекались.
5. Однако, согласно теореме Куратовского, полный граф $K_5$ не является планарным. Невозможно нарисовать 5 точек и соединить каждую с каждой другой так, чтобы линии не пересекались.
Поскольку граф для пяти попарно касающихся окружностей ($K_5$) не является планарным, а любой граф касаний окружностей на плоскости должен быть планарным, мы приходим к противоречию. Следовательно, такое расположение пяти окружностей невозможно.

Ответ: нет, не могут.

20.15. Могут ли попарно касаться друг друга четыре окружности одинакового радиуса?

Нет, четыре окружности одинакового радиуса не могут попарно касаться друг друга. Чтобы доказать это, рассмотрим два возможных случая: когда окружности лежат в одной плоскости и когда они расположены в трехмерном пространстве.

Случай 1: Все четыре окружности лежат в одной плоскости.

Пусть у нас есть четыре окружности одинакового радиуса $r$. Обозначим их центры как $O_1, O_2, O_3, O_4$. Условие, что окружности попарно касаются, означает, что каждая окружность касается трех других. Когда две окружности с радиусами $r_1$ и $r_2$ касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно $r_1 + r_2$. В нашем случае все радиусы равны $r$, поэтому расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей составляет $r + r = 2r$.

Следовательно, все расстояния между точками $O_1, O_2, O_3, O_4$ должны быть равны $2r$:$|O_1O_2| = |O_1O_3| = |O_1O_4| = |O_2O_3| = |O_2O_4| = |O_3O_4| = 2r$.

Это означает, что точки $O_1, O_2, O_3, O_4$ должны являться вершинами правильного тетраэдра со стороной $2r$.

Рассмотрим первые три центра $O_1, O_2, O_3$. Они должны образовывать равносторонний треугольник со стороной $2r$. Такой треугольник можно расположить на плоскости. Поместим его в систему координат. Пусть $O_1 = (-r, 0)$, $O_2 = (r, 0)$. Тогда координаты точки $O_3$ можно найти из условия, что она находится на расстоянии $2r$ от $O_1$ и $O_2$. Решая систему уравнений $(x+r)^2+y^2=(2r)^2$ и $(x-r)^2+y^2=(2r)^2$, находим, что $x=0$ и $y=\pm r\sqrt{3}$. Выберем $O_3 = (0, r\sqrt{3})$.

Теперь найдем положение центра четвертой окружности $O_4=(x, y)$. Он должен находиться на расстоянии $2r$ от $O_1, O_2$ и $O_3$. Из условия $|O_1O_4| = |O_2O_4| = 2r$ мы уже знаем, что $x=0$. Таким образом, $O_4$ лежит на оси $y$.Теперь используем условие $|O_3O_4|=2r$:$|O_3O_4|^2 = (0-0)^2 + (y - r\sqrt{3})^2 = (2r)^2$$(y - r\sqrt{3})^2 = 4r^2$$y - r\sqrt{3} = \pm 2r$, откуда $y = r\sqrt{3} \pm 2r$.

Однако точка $O_4=(0, y)$ также должна быть на расстоянии $2r$ от $O_1=(-r, 0)$:$|O_1O_4|^2 = (0 - (-r))^2 + (y-0)^2 = (2r)^2$$r^2 + y^2 = 4r^2$$y^2 = 3r^2$, откуда $y = \pm r\sqrt{3}$.

Мы получили два разных требования для координаты $y$ точки $O_4$: $y = r(\sqrt{3} \pm 2)$ и $y = \pm r\sqrt{3}$. Очевидно, что ни одно из значений не совпадает ($r(\sqrt{3} + 2) \ne \pm r\sqrt{3}$ и $r(\sqrt{3} - 2) \ne \pm r\sqrt{3}$). Это означает, что на плоскости не существует точки, равноудаленной от трех вершин равностороннего треугольника на расстояние, равное стороне этого треугольника. Таким образом, правильный тетраэдр нельзя "уложить" на плоскость.

Следовательно, четыре окружности одинакового радиуса не могут попарно касаться в одной плоскости.

Случай 2: Окружности расположены в трехмерном пространстве.

Рассмотрим более общий случай, когда четыре окружности $C_1, C_2, C_3, C_4$ одинакового радиуса $r$ расположены в пространстве. Каждая окружность $C_i$ лежит в своей плоскости $P_i$ и имеет центр $O_i$.Для того чтобы две окружности $C_i$ и $C_j$ касались, содержащие их сферы $S_i$ и $S_j$ (с центрами $O_i, O_j$ и радиусом $r$) также должны касаться. Точка касания окружностей может быть только в точке касания сфер.

Касание сфер $S_i$ и $S_j$ означает, что расстояние между их центрами равно $r+r=2r$. Таким образом, как и в первом случае, центры $O_1, O_2, O_3, O_4$ должны образовывать правильный тетраэдр со стороной $2r$. В трехмерном пространстве такой тетраэдр существует.

Точка касания двух сфер $S_i$ и $S_j$ — это середина отрезка, соединяющего их центры: $T_{ij} = \frac{O_i+O_j}{2}$. Чтобы окружности $C_i$ и $C_j$ касались в этой точке, точка $T_{ij}$ должна принадлежать обеим окружностям.

Для того чтобы точка $T_{ij}$ принадлежала окружности $C_i$, она должна лежать в плоскости $P_i$, в которой находится эта окружность. (Расстояние от $O_i$ до $T_{ij}$ равно $|\frac{O_j-O_i}{2}| = \frac{2r}{2}=r$, так что точка лежит на сфере $S_i$).

Рассмотрим окружность $C_1$. Она должна касаться окружностей $C_2, C_3, C_4$. Следовательно, ее плоскость $P_1$ должна содержать точки касания $T_{12}, T_{13}, T_{14}$. Плоскость $P_1$ также по определению проходит через центр $O_1$.

Таким образом, плоскость $P_1$ должна содержать четыре точки: $O_1, T_{12}, T_{13}, T_{14}$.Выберем систему координат с началом в точке $O_1$. Тогда $O_1 = (0,0,0)$, а $T_{1j} = \frac{O_1+O_j}{2} = \frac{O_j}{2}$.Значит, плоскость $P_1$ должна содержать начало координат и точки $O_2/2, O_3/2, O_4/2$. Это возможно только в том случае, если векторы $O_2, O_3, O_4$ (с началом в $O_1$) компланарны, то есть лежат в одной плоскости.

Однако точки $O_1, O_2, O_3, O_4$ являются вершинами правильного тетраэдра. Векторы, соединяющие одну вершину с тремя другими (в нашем случае $O_2, O_3, O_4$ с началом в $O_1$), не являются компланарными. Они образуют трехмерный базис. Следовательно, не существует плоскости, которая бы проходила через точки $O_1, O_2, O_3, O_4$. А значит, не существует и плоскости $P_1$, проходящей через $O_1, T_{12}, T_{13}, T_{14}$.

Полученное противоречие показывает, что такое расположение окружностей невозможно и в трехмерном пространстве.

Ответ: Нет, не могут.

20.16. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь:

а) две окружности;

б) три окружности;

в) четыре окружности;

г) $n$ окружностей?

Нарисуйте соответствующие окружности.

а) две окружности

Две различные окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Чтобы получить максимальное число точек пересечения, окружности должны пересекаться, а не касаться или не иметь общих точек. Ниже приведен пример расположения двух окружностей, имеющих 2 точки пересечения, отмеченные красным цветом.

Ответ: 2.

б) три окружности

Чтобы получить максимальное число точек пересечения для трех окружностей, каждая окружность должна пересекать две другие в двух различных точках. Общее число пар окружностей равно $C_3^2 = \binom{3}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$. Каждая пара дает 2 точки пересечения. Таким образом, максимальное число точек пересечения равно $3 \times 2 = 6$. Важным условием является то, что никакие три окружности не должны пересекаться в одной и той же точке. На рисунке показан пример такого расположения.

Ответ: 6.

в) четыре окружности

Аналогично рассуждая для четырех окружностей, мы должны максимизировать число попарных пересечений. Число пар окружностей из четырех равно $C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. Каждая пара может пересечься в двух точках, поэтому максимальное число точек пересечения равно $6 \times 2 = 12$. Для этого необходимо, чтобы каждая пара окружностей пересекалась в двух точках, и никакие три окружности не проходили через одну и ту же точку. Пример такого расположения приведен на рисунке.

Ответ: 12.

г) n окружностей

Обобщим задачу для $n$ окружностей. Чтобы получить наибольшее число точек пересечения, каждая окружность должна пересекать каждую из остальных $n-1$ окружностей в двух различных точках. При этом никакие две окружности не должны касаться, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке.
Рассмотрим количество пар окружностей, которое можно составить из $n$ окружностей. Это число сочетаний из $n$ по 2:
$C_n^2 = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$
Каждая такая пара окружностей дает 2 точки пересечения. Следовательно, общее максимальное число точек пересечения $P(n)$ равно:
$P(n) = 2 \times C_n^2 = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$.
Этот результат можно также получить с помощью рекуррентного соотношения. Пусть $P(k)$ — максимальное число точек пересечения для $k$ окружностей. При добавлении $(k+1)$-й окружности она может пересечь каждую из $k$ предыдущих окружностей в двух новых точках, добавив $2k$ точек. Таким образом, $P(k+1) = P(k) + 2k$. Учитывая, что $P(1)=0$, получаем:
$P(n) = \sum_{i=1}^{n-1} 2i = 2 \sum_{i=1}^{n-1} i = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1)$.

Ответ: $n(n-1)$.

20.17. На какое наибольшее число областей могут разбивать плос-кость:

а) две окружности;

б) три окружности;

в) четыре окружности? Нарисуйте соответствующие области.

Для нахождения наибольшего числа областей, на которые $n$ окружностей могут разбивать плоскость, необходимо, чтобы каждая новая окружность пересекала все предыдущие в максимально возможном количестве точек. Две окружности могут пересекаться не более чем в двух точках. Таким образом, чтобы максимизировать число областей, $n$-я окружность должна пересекать каждую из $n-1$ предыдущих окружностей в двух различных точках, причем ни одна точка пересечения не должна принадлежать трем окружностям одновременно.

При добавлении $n$-й окружности она проходит через $2(n-1)$ точек пересечения с предыдущими окружностями. Эти точки делят $n$-ю окружность на $2(n-1)$ дуг. Каждая такая дуга делит одну из существующих областей на две, тем самым добавляя $2(n-1)$ новую область.

Пусть $R(n)$ — максимальное число областей для $n$ окружностей. Тогда справедлива рекуррентная формула: $R(n) = R(n-1) + 2(n-1)$ при $n \ge 1$. Если окружностей нет, вся плоскость является одной областью, то есть $R(0) = 1$. Однако удобнее начать с одной окружности: $R(1) = 2$.

Используя эту рекуррентную формулу, можно вывести общую формулу для максимального числа областей, на которые $n$ окружностей делят плоскость: $R(n) = n^2 - n + 2$.

а) две окружности

Для $n=2$ по формуле получаем: $R(2) = 2^2 - 2 + 2 = 4$. Максимальное число областей достигается, когда две окружности пересекаются в двух точках. Это разделяет плоскость на четыре области: область вне обеих окружностей, две области внутри одной, но вне другой окружности, и область пересечения обеих окружностей.

Ответ: 4

б) три окружности

Для $n=3$ по формуле получаем: $R(3) = 3^2 - 3 + 2 = 9 - 3 + 2 = 8$. Чтобы получить максимальное число областей, каждая окружность должна пересекать две другие в двух различных точках, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке. Классическим примером такого расположения является диаграмма Венна для трех множеств.

Ответ: 8

в) четыре окружности

Для $n=4$ по формуле получаем: $R(4) = 4^2 - 4 + 2 = 16 - 4 + 2 = 14$. Чтобы получить максимальное число областей, каждая пара окружностей должна пересекаться, и никакие три окружности не должны пересекаться в одной точке. Такое расположение можно получить, например, разместив центры четырех окружностей одинакового радиуса в вершинах квадрата, сторона которого меньше диаметра, но больше радиуса окружностей.

Ответ: 14

20.18. Земля и Марс вращаются вокруг Солнца по круговым (почти) орбитам радиусов 150 и 228 миллионов километров с разными угловыми скоростями (рис. 20.12). Найдите наибольшее и наименьшее расстояние между Землей и Марсом.

Рис. 20.12

Для решения задачи будем считать, что Земля и Марс движутся по круговым орбитам, в общем центре которых находится Солнце. Обозначим радиус орбиты Земли как $R_З$, а радиус орбиты Марса — как $R_М$. Поскольку в условии указано, что угловые скорости планет различны, их взаимное расположение постоянно меняется, что позволяет им занимать положения, соответствующие как минимальному, так и максимальному расстоянию друг от друга.

Из условия задачи нам известны радиусы орбит:

$R_З = 150 \text{ миллионов километров}$

$R_М = 228 \text{ миллионов километров}$

Наименьшее расстояние между планетами ($d_{min}$) достигается, когда Солнце, Земля и Марс выстраиваются на одной прямой, причём обе планеты находятся по одну сторону от Солнца. Такое положение называется противостоянием Марса. В этом случае искомое расстояние равно разности радиусов их орбит.

Вычислим наименьшее расстояние:

$d_{min} = R_М - R_З = 228\ 000\ 000 \text{ км} - 150\ 000\ 000 \text{ км} = 78\ 000\ 000 \text{ км}$.

Ответ: 78 миллионов километров.

Наибольшее расстояние между планетами ($d_{max}$) достигается, когда Солнце, Земля и Марс также находятся на одной прямой, но располагаются по разные стороны от Солнца. Такое положение называется соединением Марса с Солнцем. В этом случае расстояние между планетами равно сумме радиусов их орбит.

Вычислим наибольшее расстояние:

$d_{max} = R_М + R_З = 228\ 000\ 000 \text{ км} + 150\ 000\ 000 \text{ км} = 378\ 000\ 000 \text{ км}$.

Ответ: 378 миллионов километров.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

20.19. Изобразите две точки $A$ и $B$. Укажите точки, расстояния от которых до точек $A$ и $B$ равны.

Изобразим на плоскости две произвольные точки А и В.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек А и В, представляет собой прямую. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку АВ.

Серединный перпендикуляр – это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна к нему.

Доказательство:

1. Пусть точка M равноудалена от точек А и В, то есть расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$ ($MA = MB$). Тогда треугольник $\triangle AMB$ является равнобедренным с основанием AB. Проведем медиану $MO$ к основанию AB, где O – середина отрезка AB. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MO \perp AB$. Это означает, что любая точка M, равноудаленная от А и В, лежит на прямой, которая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину.

2. Теперь докажем обратное утверждение. Пусть точка N лежит на серединном перпендикуляре $m$ к отрезку AB. По определению, прямая $m$ проходит через середину O отрезка AB ($AO = BO$) и перпендикулярна ему ($m \perp AB$). Рассмотрим треугольники $\triangle AON$ и $\triangle BON$. Они являются прямоугольными, так как $NO \perp AB$. У них катет $NO$ – общий, а катеты $AO$ и $BO$ равны, поскольку O – середина отрезка AB. Следовательно, по признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), $\triangle AON = \triangle BON$. Из равенства треугольников следует и равенство их гипотенуз: $AN = BN$. Таким образом, любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

На рисунке выше показаны точки А и В, отрезок AB (изображен пунктиром), его середина O, и серединный перпендикуляр – прямая $m$. Для любой точки M, лежащей на прямой $m$, выполняется равенство расстояний $MA = MB$.

Ответ: Точки, расстояния от которых до точек А и В равны, образуют прямую, которая является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.