Страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.15. Через точку M вне окружности проведены касательные MA и MB, и через точку C на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки MA и MB в точках K и L соответственно (рис. 19.12). Докажите, что периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C.

Рис. 19.12

Для доказательства того, что периметр треугольника KLM не зависит от положения точки C, рассмотрим его составляющие.

Периметр треугольника $KLM$, обозначим его как $P_{KLM}$, равен сумме длин его сторон: $P_{KLM} = MK + ML + KL$

Сторона $KL$ является отрезком касательной к окружности в точке $C$. Этот отрезок можно представить как сумму двух отрезков: $KL = KC + CL$.

Подставим это выражение в формулу периметра: $P_{KLM} = MK + ML + KC + CL$

Воспользуемся свойством касательных к окружности, проведенных из одной точки. Свойство гласит: отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Применим это свойство для точек $K$ и $L$:

• Точка $K$ лежит на пересечении двух касательных к окружности: прямой $MA$ (касание в точке $A$) и прямой $KL$ (касание в точке $C$). Следовательно, длины отрезков касательных от точки $K$ до точек касания равны: $KA = KC$.
• Аналогично, точка $L$ лежит на пересечении двух касательных: прямой $MB$ (касание в точке $B$) и прямой $KL$ (касание в точке $C$). Следовательно, $LB = LC$.

Теперь заменим в формуле периметра отрезки $KC$ и $CL$ на равные им отрезки $KA$ и $LB$ соответственно: $P_{KLM} = MK + ML + KA + LB$

Сгруппируем слагаемые следующим образом: $P_{KLM} = (MK + KA) + (ML + LB)$

Из рисунка видно, что точка $K$ лежит на отрезке $MA$, поэтому сумма $MK + KA$ равна длине всего отрезка $MA$. Аналогично, точка $L$ лежит на отрезке $MB$, поэтому $ML + LB = MB$.

Таким образом, периметр треугольника $KLM$ равен: $P_{KLM} = MA + MB$

По условию задачи, точка $M$ и окружность зафиксированы. Это означает, что касательные $MA$ и $MB$, проведенные из точки $M$ к окружности, имеют постоянную длину. Длина этих отрезков зависит только от положения точки $M$ и радиуса окружности, но никак не от положения точки $C$ на дуге $AB$.

Следовательно, сумма $MA + MB$ является постоянной величиной. Это доказывает, что периметр треугольника $KLM$ не зависит от положения точки $C$ на окружности.

Ответ: Периметр треугольника $KLM$ равен сумме длин касательных $MA$ и $MB$, проведенных из точки $M$. Так как длины $MA$ и $MB$ являются постоянными для данной точки $M$ и данной окружности, то и периметр треугольника $KLM$ является постоянной величиной, не зависящей от выбора точки $C$ на окружности.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

19.16. Сколько общих точек могут иметь две окружности? Изобразите соответствующие случаи.

Две окружности на плоскости могут иметь ноль, одну, две или бесконечно много общих точек. Это зависит от их взаимного расположения, которое можно охарактеризовать через соотношение между расстоянием между их центрами ($d$) и их радиусами ($R_1$ и $R_2$).

Случай 1: Нет общих точек (0 точек) Этот случай возникает, когда окружности не пересекаются и не касаются. Существует два варианта:

а) Окружности лежат одна вне другой.

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.

б) Одна окружность лежит внутри другой.

Это происходит, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$. Частным случаем являются концентрические окружности, у которых центры совпадают ($d=0$), а радиусы различны.

Случай 2: Одна общая точка (касание) Это происходит, когда окружности касаются друг друга только в одной точке. Существует два варианта касания:

а) Внешнее касание.

Окружности касаются снаружи. Расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

б) Внутреннее касание.

Одна окружность касается другой изнутри. Расстояние между центрами равно модулю разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$, при $R_1 \ne R_2$.

Случай 3: Две общие точки (пересечение) Это происходит, когда окружности пересекаются. Расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Случай 4: Бесконечно много общих точек (совпадение) Это происходит, когда окружности полностью совпадают. Их центры находятся в одной точке ($d = 0$), и их радиусы равны ($R_1 = R_2$). Все точки одной окружности являются общими для другой.

Ответ: Две окружности могут иметь 0, 1, 2 или бесконечно много общих точек.