Страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. На клетчатой бумаге изобразите центры окружностей, проходящие через две данные точки и находящиеся в узлах сетки (рис. 18.9).

а)

б)

Рис. 18.9

Центр любой окружности, проходящей через две точки A и B, должен быть равноудален от этих точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, является срединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. По условию задачи, искомые центры должны находиться в узлах сетки. Таким образом, задача сводится к нахождению узлов сетки, лежащих на срединном перпендикуляре к отрезку AB.

а) Введем систему координат, в которой одна клетка соответствует единице. Расположим начало координат в левом нижнем углу видимой сетки. Точка A будет иметь координаты, например, (0, 2), а точка B, которая находится на 3 клетки правее на той же горизонтали, будет иметь координаты (3, 2). Пусть C(x, y) — искомый центр окружности, находящийся в узле сетки (x и y — целые числа). Расстояние от C до A должно быть равно расстоянию от C до B, следовательно, их квадраты также равны: $CA^2 = CB^2$.

$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$

$x^2 = (x - 3)^2$

$x^2 = x^2 - 6x + 9$

$6x = 9$

$x = 1.5$

Уравнение срединного перпендикуляра к отрезку AB — это вертикальная прямая $x = 1.5$. Поскольку центры окружностей должны находиться в узлах сетки, их x-координата должна быть целым числом. Число 1.5 не является целым, поэтому на прямой $x = 1.5$ нет ни одного узла сетки. Это означает, что не существует центра окружности, удовлетворяющего условиям задачи.

Ответ: таких центров не существует.

б) Введем систему координат с началом в левом нижнем узле сетки. Тогда точка A имеет координаты (1, 3), а точка B — (3, 1). Пусть C(x, y) — искомый центр, где x и y — целые числа. Запишем условие равенства квадратов расстояний $CA^2 = CB^2$.

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$

Сокращая одинаковые члены в обеих частях, получаем:

$-2x - 6y = -6x - 2y$

$4x = 4y$

$y = x$

Уравнение срединного перпендикуляра — $y = x$. Нам нужно найти все узлы сетки на этой прямой, которые видны на рисунке. Это точки с целыми равными координатами. В пределах показанной сетки 5x5 (от 0 до 4 по каждой оси) это следующие точки: (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4).

Ответ: искомые центры — это 5 точек, отмеченных на рисунке синим цветом.

18.12. Сколько окружностей может проходить через две заданные точки?

Пусть даны две различные точки A и B. Центр любой окружности, проходящей через эти две точки, должен быть равноудален от них. Если обозначить центр окружности как O, то расстояние от центра до точки A должно быть равно расстоянию от центра до точки B. Это расстояние и будет радиусом окружности $R$. Таким образом, должно выполняться условие: $OA = OB = R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B, — это прямая, называемая серединным перпендикуляром к отрезку AB. Эта прямая перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину.

Так как серединный перпендикуляр является прямой линией, он состоит из бесконечного множества точек. Любую из этих точек можно выбрать в качестве центра окружности, проходящей через A и B. Для каждого такого центра O, расположенного на серединном перпендикуляре, мы получим уникальную окружность с радиусом $R = OA = OB$.

На рисунке ниже показаны точки A и B, серединный перпендикуляр к отрезку AB (показан пунктирной линией) и три примера таких окружностей с центрами $O_1, O_2, O_3$, лежащими на этом перпендикуляре.

Поскольку существует бесконечно много точек на серединном перпендикуляре, которые можно выбрать в качестве центра, то и окружностей, проходящих через две заданные точки, можно провести бесконечное множество.
Ответ: через две заданные точки может проходить бесконечное множество окружностей.

18.13. На клетчатой бумаге изобразите центр $O$ окружности, проходящий через данные точки $A$, $B$, $C$, $D$ (рис. 18.10).

Рис. 18.10

Центр окружности, проходящей через заданные точки, является точкой, равноудаленной от всех этих точек. Геометрически эта точка является точкой пересечения серединных перпендикуляров к хордам, соединяющим данные точки. Для нахождения центра достаточно построить серединные перпендикуляры к двум любым хордам (например, AD и AB) и найти их точку пересечения.

Введем систему координат, приняв за единицу длины сторону одной клетки. Пусть левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты $(0,0)$. Тогда координаты данных точек будут следующими:

$A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(3, 3)$, $D(1, 3)$.

Теперь найдем уравнения серединных перпендикуляров.

1. Серединный перпендикуляр к хорде AD.

Хорда AD соединяет точки $A(1, 1)$ и $D(1, 3)$. Это вертикальный отрезок. Его середина имеет координаты $M_{AD} = (\frac{1+1}{2}, \frac{1+3}{2}) = (1, 2)$. Серединный перпендикуляр к вертикальному отрезку является горизонтальной прямой, проходящей через его середину. Уравнение этой прямой: $y = 2$.

2. Серединный перпендикуляр к хорде AB.

Хорда AB соединяет точки $A(1, 1)$ и $B(4, 1)$. Это горизонтальный отрезок. Его середина имеет координаты $M_{AB} = (\frac{1+4}{2}, \frac{1+1}{2}) = (2.5, 1)$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку является вертикальной прямой. Уравнение этой прямой: $x = 2.5$.

Точка пересечения этих двух перпендикуляров, которая должна быть центром окружности, имеет координаты $O(2.5, 2)$.

Теперь проверим, равноудалена ли точка $O(2.5, 2)$ от всех четырех точек A, B, C и D. Для этого вычислим квадраты расстояний от точки О до каждой из точек:

$OA^2 = (2.5 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 1.5^2 + 1^2 = 2.25 + 1 = 3.25$

$OB^2 = (2.5 - 4)^2 + (2 - 1)^2 = (-1.5)^2 + 1^2 = 2.25 + 1 = 3.25$

$OD^2 = (2.5 - 1)^2 + (2 - 3)^2 = 1.5^2 + (-1)^2 = 2.25 + 1 = 3.25$

$OC^2 = (2.5 - 3)^2 + (2 - 3)^2 = (-0.5)^2 + (-1)^2 = 0.25 + 1 = 1.25$

Как показывают расчеты, $OA^2 = OB^2 = OD^2 \neq OC^2$. Это означает, что точка $O(2.5, 2)$ не равноудалена от точки С. Следовательно, окружность, проходящая через точки A, B и D, не проходит через точку С. Это говорит о том, что в условии задачи, а именно в рисунке, допущена опечатка, так как для заданных на рисунке точек не существует единой окружности.

Наиболее вероятная опечатка заключается в положении точки С. Если бы точки образовывали вписанный четырехугольник, это была бы, например, равнобокая трапеция или прямоугольник. Если предположить, что фигура ABCD должна быть прямоугольником, то точка C должна иметь координаты $(4, 3)$.

Найдем центр окружности для исправленного набора точек: $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ и $D(1, 3)$.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, находится в точке пересечения его диагоналей, то есть в середине любой из диагоналей.

Найдем середину диагонали AC:

$O = (\frac{1+4}{2}, \frac{1+3}{2}) = (2.5, 2)$.

Этот же центр можно найти, как и ранее, пересечением серединных перпендикуляров к сторонам AB ($x=2.5$) и AD ($y=2$).

Таким образом, искомый центр окружности находится в точке с координатами $(2.5, 2)$. На клетчатой бумаге эта точка расположена посередине между вертикальными линиями сетки, проходящими через $x=2$ и $x=3$, и на горизонтальной линии сетки, проходящей через $y=2$.

Ответ: Центр O окружности находится в точке с координатами $(2.5, 2)$.

18.14. Хорда $AB$ окружности равна ее радиусу $OA$ (рис. 18.11).

Чему равен угол $AOB$?

Рис. 18.11

Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, образованный двумя радиусами $OA$, $OB$ и хордой $AB$.

Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$. По определению радиуса, их длины равны: $OA = OB$.

Согласно условию задачи, длина хорды $AB$ равна длине радиуса $OA$: $AB = OA$.

Объединяя эти два равенства, мы получаем, что все три стороны треугольника $\triangle AOB$ равны между собой: $OA = OB = AB$.

Треугольник, у которого все три стороны равны, называется равносторонним.

В равностороннем треугольнике все внутренние углы равны и составляют $60^\circ$. Следовательно, угол при вершине $O$, то есть $\angle AOB$, также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

18.15. Точка $A$ расположена вне окружности радиуса $R$ и удалена от центра $O$ этой окружности на расстояние $d$ (рис. 18.12). Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек данной окружности?

Рис. 18.12

Наименьшее расстояние
Пусть точка M лежит на окружности. Расстояние от точки A до точки M будет наименьшим, если все три точки — A, M и центр окружности O — лежат на одной прямой, причем точка M находится между A и O. В этом случае расстояние AM равно разности расстояния от A до центра (OA) и радиуса окружности (OM). По условию задачи, расстояние от точки A до центра O равно $d$, а радиус окружности равен $R$. Таким образом, наименьшее расстояние вычисляется как $OA - OM$.
Ответ: $d - R$

Наибольшее расстояние
Расстояние от точки A до точки M на окружности будет наибольшим, если все три точки — A, M и центр окружности O — лежат на одной прямой, причем центр O находится между A и M. В этом случае расстояние AM равно сумме расстояния от A до центра (OA) и радиуса окружности (OM). Используя данные из условия, $OA = d$ и $OM = R$, наибольшее расстояние вычисляется как $OA + OM$.
Ответ: $d + R$