Номер 18.11, страница 105 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.11. На клетчатой бумаге изобразите центры окружностей, проходящие через две данные точки и находящиеся в узлах сетки (рис. 18.9).

а)

б)

Рис. 18.9

Центр любой окружности, проходящей через две точки A и B, должен быть равноудален от этих точек. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, является срединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. По условию задачи, искомые центры должны находиться в узлах сетки. Таким образом, задача сводится к нахождению узлов сетки, лежащих на срединном перпендикуляре к отрезку AB.

а) Введем систему координат, в которой одна клетка соответствует единице. Расположим начало координат в левом нижнем углу видимой сетки. Точка A будет иметь координаты, например, (0, 2), а точка B, которая находится на 3 клетки правее на той же горизонтали, будет иметь координаты (3, 2). Пусть C(x, y) — искомый центр окружности, находящийся в узле сетки (x и y — целые числа). Расстояние от C до A должно быть равно расстоянию от C до B, следовательно, их квадраты также равны: $CA^2 = CB^2$.

$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y - 2)^2$

$x^2 = (x - 3)^2$

$x^2 = x^2 - 6x + 9$

$6x = 9$

$x = 1.5$

Уравнение срединного перпендикуляра к отрезку AB — это вертикальная прямая $x = 1.5$. Поскольку центры окружностей должны находиться в узлах сетки, их x-координата должна быть целым числом. Число 1.5 не является целым, поэтому на прямой $x = 1.5$ нет ни одного узла сетки. Это означает, что не существует центра окружности, удовлетворяющего условиям задачи.

Ответ: таких центров не существует.

б) Введем систему координат с началом в левом нижнем узле сетки. Тогда точка A имеет координаты (1, 3), а точка B — (3, 1). Пусть C(x, y) — искомый центр, где x и y — целые числа. Запишем условие равенства квадратов расстояний $CA^2 = CB^2$.

$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$

Сокращая одинаковые члены в обеих частях, получаем:

$-2x - 6y = -6x - 2y$

$4x = 4y$

$y = x$

Уравнение срединного перпендикуляра — $y = x$. Нам нужно найти все узлы сетки на этой прямой, которые видны на рисунке. Это точки с целыми равными координатами. В пределах показанной сетки 5x5 (от 0 до 4 по каждой оси) это следующие точки: (0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4).

Ответ: искомые центры — это 5 точек, отмеченных на рисунке синим цветом.