Номер 18.17, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.17. Точка $A$ расположена внутри окружности радиуса $R$ и удалена от центра $O$ этой окружности на расстояние $d$ (рис. 18.13). Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек данной окружности?

Рис. 18.13

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ находится внутри окружности на расстоянии $d$ от центра ($d < R$). Требуется найти наименьшее и наибольшее расстояние от точки $A$ до произвольной точки $M$, лежащей на окружности.

Для наглядности представим данную ситуацию на рисунке, который соответствует условию задачи:

Возьмём произвольную точку $M$ на окружности. Рассмотрим треугольник $OAM$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может превышать сумму длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Для стороны $AM$ это записывается так:

$|OM - OA| \le AM \le OM + OA$

Мы знаем, что $OA = d$ (по условию) и $OM = R$, так как $M$ — точка на окружности, а $R$ — её радиус. Подставим эти значения в неравенство:

$|R - d| \le AM \le R + d$

Поскольку точка $A$ находится внутри окружности, расстояние от неё до центра меньше радиуса, то есть $d < R$. Следовательно, разность $R - d$ положительна, и знак модуля можно убрать:

$R - d \le AM \le R + d$

Это неравенство показывает, что расстояние от точки $A$ до любой точки на окружности заключено в пределах от $R - d$ до $R + d$. Теперь докажем, что эти предельные значения достигаются.

Наименьшее расстояние

Рассмотрим прямую, проходящую через центр окружности $O$ и точку $A$. Эта прямая пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках. Равенство в левой части неравенства треугольника ($AM = R-d$) достигается, когда точки $O$, $A$ и $M$ лежат на одной прямой, причём точка $A$ находится между $O$ и $M$.

Пусть $M_1$ — точка пересечения прямой с окружностью, лежащая на луче $OA$. Расстояние от $A$ до $M_1$ будет равно разности расстояния от центра до $M_1$ (это радиус $R$) и расстояния от центра до $A$ (это $d$).

$AM_1 = OM_1 - OA = R - d$

Это и есть наименьшее возможное расстояние от точки $A$ до точек окружности.

Ответ: наименьшее расстояние равно $R - d$.

Наибольшее расстояние

Равенство в правой части неравенства треугольника ($AM = R+d$) достигается, когда точки $O$, $A$ и $M$ также лежат на одной прямой, но точка $O$ находится между $A$ и $M$.

Пусть $M_2$ — вторая точка пересечения прямой, проходящей через $O$ и $A$, с окружностью. Она лежит на той же прямой, но по другую сторону от центра $O$. Расстояние от $A$ до $M_2$ будет равно сумме расстояния от $A$ до центра ($AO=d$) и расстояния от центра до $M_2$ (радиус $OM_2=R$).

$AM_2 = AO + OM_2 = d + R$

Это и есть наибольшее возможное расстояние от точки $A$ до точек окружности.

Ответ: наибольшее расстояние равно $R + d$.