Номер 18.19, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.19. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к этой хорде.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, которая не является диаметром (то есть, она не проходит через центр $O$). Пусть точка $M$ — середина хорды $AB$, следовательно, $AM = MB$. Проведем через точку $M$ диаметр $CD$. Требуется доказать, что диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$, то есть $CD \perp AB$.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle AOB$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$.

Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

По условию, точка $M$ — середина хорды $AB$. Таким образом, отрезок $OM$ является медианой в треугольнике $\triangle AOB$, проведенной к основанию $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OM \perp AB$.

Диаметр $CD$ по построению проходит через точку $M$. Так как хорда $AB$ не является диаметром, ее середина $M$ не совпадает с центром $O$. Диаметр $CD$ проходит через две различные точки $O$ и $M$, значит, он лежит на прямой $OM$.

Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна хорде $AB$, то и содержащая ее прямая $CD$ также перпендикулярна хорде $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.