Номер 18.21, страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.21. Докажите, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра окружности (рис. 18.15).

Рис. 18.15

Доказательство:

Пусть в окружности с центром в точке $O$ проведены две равные хорды $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим из центра $O$ перпендикуляры $OM$ на хорду $AB$ и $ON$ на хорду $CD$. Таким образом, по определению, $OM$ и $ON$ — это расстояния от центра до хорд $AB$ и $CD$ соответственно. Нам необходимо доказать, что $OM = ON$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$.

1. $OA$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, $OA = OC$. В прямоугольных треугольниках $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ отрезки $OA$ и $OC$ являются гипотенузами.

2. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.
Поскольку $OM \perp AB$, точка $M$ является серединой хорды $AB$, значит $AM = \frac{1}{2}AB$.
Аналогично, поскольку $ON \perp CD$, точка $N$ является серединой хорды $CD$, значит $CN = \frac{1}{2}CD$.

3. По условию задачи хорды равны: $AB = CD$. Из этого следует, что и их половины равны: $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$, то есть $AM = CN$. В прямоугольных треугольниках $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ отрезки $AM$ и $CN$ являются катетами.

4. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ равны по гипотенузе и катету ($OA = OC$ и $AM = CN$).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $OM$ треугольника $\triangle OMA$ равен катету $ON$ треугольника $\triangle ONC$, то есть $OM = ON$.

Это означает, что расстояния от центра окружности до равных хорд равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.