Страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая фигура называется окружностью? Что называется: а) центром окружности; б) радиусом окружности?

2. Какая фигура называется кругом? Что называется: а) центром круга; б) радиусом круга?

3. Что называется: а) хордой; б) диаметром окружности?

4. Как связаны между собой диаметр и радиус одной окружности?

5. Чем является наибольшая хорда окружности?

6. В каком отношении диаметр делит перпендикулярную ему хорду?

7. Какой угол называется центральным углом окружности?

8. Что называется дугой окружности?

9. Что называется круговым сектором?

10. Что называется градусной величиной дуги окружности?

11. Какие дуги окружности называются равными?

12. Что называется градусной величиной кругового сектора?

1. Какая фигура называется окружностью? Что называется: а) центром окружности; б) радиусом окружности?
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром окружности.

а) Центром окружности называется данная точка (на рисунке точка О), от которой все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии.
б) Радиусом окружности (обозначается как $r$) называется расстояние от центра до любой точки окружности. Также радиусом называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.
Ответ: Окружность — это множество точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Радиус — это данное расстояние, а также отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности.

2. Какая фигура называется кругом? Что называется: а) центром круга; б) радиусом круга?
Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью и содержащая её центр. Иначе говоря, это фигура, состоящая из всех точек плоскости, расстояние от которых до данной точки (центра) не превышает заданного расстояния (радиуса).

а) Центром круга называется центр окружности, которая его ограничивает.
б) Радиусом круга называется радиус этой окружности.
Ответ: Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр и радиус круга — это центр и радиус его граничной окружности.

3. Что называется: а) хордой; б) диаметром окружности?
а) Хордой называется отрезок, который соединяет две любые точки на окружности.
б) Диаметром (обозначается как $d$) называется хорда, проходящая через центр окружности.

Ответ: Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Диаметр — это хорда, которая проходит через центр окружности.

4. Как связаны между собой диаметр и радиус одной окружности?
Поскольку диаметр проходит через центр окружности, он состоит из двух радиусов, продолжающих друг друга. Следовательно, длина диаметра в два раза больше длины радиуса. Эта связь выражается простой математической формулой: $d = 2r$.
Ответ: Диаметр равен удвоенному радиусу ($d = 2r$).

5. Чем является наибольшая хорда окружности?
Наибольшей хордой окружности является её диаметр. Любая хорда, не проходящая через центр, короче диаметра. Это можно доказать, рассмотрев треугольник с вершинами в центре окружности и на концах хорды. Две его стороны — радиусы, а третья — хорда. По неравенству треугольника, сумма двух сторон (двух радиусов, т.е. диаметр) больше третьей стороны (хорды).
Ответ: Диаметром.

6. В каком отношении диаметр делит перпендикулярную ему хорду?
Диаметр, который перпендикулярен хорде, делит эту хорду на две равные части, то есть пополам. Таким образом, отношение длин получившихся отрезков составляет 1:1. Это свойство вытекает из симметрии окружности и свойств равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

На рисунке диаметр перпендикулярен хорде $AB$ в точке $M$, при этом $AM = MB$.
Ответ: Пополам (в отношении 1:1).

7. Какой угол называется центральным углом окружности?
Центральным углом окружности называется угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а его стороны являются радиусами этой окружности.

На рисунке угол $∠AOB$ (обозначен как $α$) является центральным.
Ответ: Угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны — её радиусы.

8. Что называется дугой окружности?
Дугой окружности называется часть окружности, заключенная между двумя её точками. Эти две точки, называемые концами дуги, делят окружность на две дуги. Если не указано иное, обычно имеется в виду меньшая из них.
Ответ: Часть окружности, расположенная между двумя её точками.

9. Что называется круговым сектором?
Круговым сектором называется часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами, проведенными к концам этой дуги.

Закрашенная область AOB на рисунке является круговым сектором.
Ответ: Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними.

10. Что называется градусной величиной дуги окружности?
Градусной величиной (или градусной мерой) дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла. Таким образом, если центральный угол равен $α$ градусов, то и дуга, на которую он опирается, имеет величину $α$ градусов. Градусная мера всей окружности равна 360°.
Ответ: Градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

11. Какие дуги окружности называются равными?
Равными дугами одной окружности (или равных окружностей) называются дуги, имеющие одинаковую градусную меру. Если две дуги равны, их можно совместить друг с другом путем вращения окружности вокруг её центра.
Ответ: Дуги с одинаковой градусной мерой.

12. Что называется градусной величиной кругового сектора?
Градусной величиной кругового сектора называется градусная величина его дуги. Эта величина также равна градусной мере центрального угла, который образует этот сектор.
Ответ: Градусная мера его дуги или соответствующего ему центрального угла.

18.1. Какому неравенству удовлетворяют точки A, лежащие:

а) в круге с центром в точке O и радиусом R; $ |OA| \le R $

б) вне круга с центром в точке O и радиусом R? $ |OA| > R $

а) Круг с центром в точке O и радиусом R — это геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до центра O не превышает радиуса R. Это означает, что любая точка A, принадлежащая кругу, может либо находиться внутри окружности, ограничивающей круг (тогда расстояние $OA < R$), либо на самой окружности (тогда расстояние $OA = R$). Объединяя эти два случая, мы получаем, что для любой точки A, лежащей в круге, должно выполняться неравенство, согласно которому расстояние от точки А до центра О меньше или равно радиусу R.
Ответ: $OA \le R$

б) Если точка А лежит вне круга с центром в точке О и радиусом R, это означает, что она не принадлежит ни внутренней области круга, ни его границе (окружности). Расстояние от любой такой точки до центра O будет строго больше, чем радиус круга R. Если бы расстояние было равно или меньше R, точка по определению находилась бы внутри круга или на его границе, что противоречит условию.
Ответ: $OA > R$

18.2. Какую фигуру образуют центры окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку?

Пусть нам дана точка $A$ и радиус $R > 0$. Мы ищем геометрическое место точек (фигуру), которые являются центрами всех окружностей радиуса $R$, проходящих через точку $A$.

Пусть $O$ — центр одной из таких окружностей. По условию, радиус этой окружности равен $R$, и она проходит через точку $A$.

По определению окружности, все ее точки находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу, от ее центра. Поскольку точка $A$ лежит на нашей окружности, расстояние от центра $O$ до точки $A$ должно быть равно радиусу $R$. Таким образом, для любого такого центра $O$ выполняется условие $OA = R$.

Это означает, что любой центр $O$ искомых окружностей удален от данной точки $A$ на постоянное расстояние $R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки, является окружностью. Центром этой окружности будет данная точка $A$, а ее радиусом — данное расстояние $R$.

Проиллюстрируем это на рисунке:

На рисунке точка $A$ — данная точка. Точки $O_1, O_2, O_3$ — центры нескольких окружностей (красной, зеленой, фиолетовой), которые имеют радиус $R$ и проходят через точку $A$. Множество всех таких центров (синяя пунктирная линия) образует окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

Ответ: окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному радиусу.

18.3. Сколько диаметров можно провести через центр окружности?

По определению, диаметр окружности — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через её центр. Таким образом, любой диаметр всегда проходит через центр окружности.



Окружность состоит из бесконечного множества точек. Чтобы построить диаметр, нужно выбрать любую точку на окружности и соединить её отрезком с центром, а затем продлить этот отрезок до пересечения с окружностью в другой точке.
Так как на окружности существует бесконечное количество точек, то можно выбрать бесконечное количество пар диаметрально противоположных точек. Каждая такая пара образует уникальный диаметр.
Следовательно, через центр окружности можно провести бесконечно много диаметров.
Ответ: бесконечно много.

18.4. Найдите диаметр окружности, если известно, что он на 55 мм больше радиуса этой окружности.

Обозначим радиус окружности как $r$, а её диаметр как $d$.

Основное соотношение между диаметром и радиусом окружности выражается формулой: $d = 2r$

Согласно условию задачи, диаметр на 55 мм больше радиуса. Это можно записать в виде уравнения: $d = r + 55$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($d$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти радиус: $2r = r + 55$

Теперь решим полученное уравнение. Перенесем $r$ в левую часть: $2r - r = 55$ $r = 55$ мм

Мы нашли, что радиус окружности равен 55 мм. Теперь можем вычислить диаметр, подставив значение радиуса в первую формулу: $d = 2r = 2 \times 55 = 110$ мм

Проверка: найденный диаметр 110 мм действительно на 55 мм больше радиуса 55 мм, так как $110 - 55 = 55$.

Ответ: 110 мм.

18.5. Арбуз разрезали на две равные части. Радиус окружности в разрезе равен 15 см. Какой диаметр имел арбуз?

Будем считать, что арбуз имеет форму шара. Когда арбуз разрезают на две равные части, это означает, что разрез проходит через его центр. Плоскость, проходящая через центр шара, в сечении образует так называемый большой круг.

Радиус этого большого круга равен радиусу самого шара. По условию задачи, радиус окружности в разрезе равен 15 см. Обозначим радиус как $R$.

$R = 15$ см.

Диаметр, обозначим его как $D$, по определению равен удвоенному радиусу. Формула для нахождения диаметра:

$D = 2 \times R$

Подставим в формулу известное значение радиуса:

$D = 2 \times 15 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Таким образом, диаметр арбуза составлял 30 см.

Ответ: 30 см.

18.6. Юрта — древнейшее и в то же время современное жилище кочевников (рис. 18.6, а). Юрты бывают разные по размерам.

Найдите радиус, образованный от:

а) шанырака (купол юрты, рис. 18.6, б), если его диаметры 1 м, 1,2 м, 1,4 м, 2 м;

б) кереге (круглая вертикальная стена, рис. 18.6, в), если диаметры юрты 5 м, 6 м, 7 м, 10 м.

Для нахождения радиуса ($r$) по известному диаметру ($d$) используется формула, согласно которой радиус равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2}$

а) шанырака

Найдем радиус для каждого из заданных диаметров шанырака (купола юрты).

1. Если диаметр $d = 1$ м, то радиус: $r = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0,5 \text{ м}$.

2. Если диаметр $d = 1,2$ м, то радиус: $r = \frac{1,2 \text{ м}}{2} = 0,6 \text{ м}$.

3. Если диаметр $d = 1,4$ м, то радиус: $r = \frac{1,4 \text{ м}}{2} = 0,7 \text{ м}$.

4. Если диаметр $d = 2$ м, то радиус: $r = \frac{2 \text{ м}}{2} = 1 \text{ м}$.

Ответ: радиусы для шанырака составляют 0,5 м, 0,6 м, 0,7 м и 1 м соответственно.

б) кереге

Найдем радиус для каждого из заданных диаметров кереге (круглой вертикальной стены).

1. Если диаметр $d = 5$ м, то радиус: $r = \frac{5 \text{ м}}{2} = 2,5 \text{ м}$.

2. Если диаметр $d = 6$ м, то радиус: $r = \frac{6 \text{ м}}{2} = 3 \text{ м}$.

3. Если диаметр $d = 7$ м, то радиус: $r = \frac{7 \text{ м}}{2} = 3,5 \text{ м}$.

4. Если диаметр $d = 10$ м, то радиус: $r = \frac{10 \text{ м}}{2} = 5 \text{ м}$.

Ответ: радиусы для кереге составляют 2,5 м, 3 м, 3,5 м и 5 м соответственно.

18.7. Диаметр каждой из маленьких полуокружностей (рис. 18.7, а) равен радиусу большой полуокружности. Чему равен радиус маленьких полуокружностей, если диаметр большой полуокружности равен $d$.

Рис. 18.6

Такую фигуру Архимед называет арбелосом — от греч. сл. $\alpha\rho\beta\upsilon\lambda\omicron\varsigma$ — “сапожный нож” (рис. 18.7, б). В данной задаче рассматривается арбелос с равными диаметрами маленьких кругов (равнобокий арбелос).

Рис. 18.7

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$D_{б}$ — диаметр большой полуокружности;
$R_{б}$ — радиус большой полуокружности;
$d_{м}$ — диаметр маленькой полуокружности;
$r_{м}$ — радиус маленькой полуокружности.

По условию задачи, диаметр большой полуокружности равен $d$:
$D_{б} = d$

Радиус большой полуокружности составляет половину ее диаметра:
$R_{б} = \frac{D_{б}}{2} = \frac{d}{2}$

В условии также сказано, что диаметр каждой маленькой полуокружности равен радиусу большой полуокружности:
$d_{м} = R_{б}$

Подставив выражение для $R_{б}$, получаем:
$d_{м} = \frac{d}{2}$

Нам нужно найти радиус маленькой полуокружности, $r_{м}$. Радиус — это половина диаметра:
$r_{м} = \frac{d_{м}}{2}$

Теперь подставим найденное значение $d_{м}$ в эту формулу:
$r_{м} = \frac{\frac{d}{2}}{2} = \frac{d}{4}$

Ответ: $\frac{d}{4}$.