Номер 18.2, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.2. Какую фигуру образуют центры окружностей данного радиуса, проходящих через данную точку?

Пусть нам дана точка $A$ и радиус $R > 0$. Мы ищем геометрическое место точек (фигуру), которые являются центрами всех окружностей радиуса $R$, проходящих через точку $A$.

Пусть $O$ — центр одной из таких окружностей. По условию, радиус этой окружности равен $R$, и она проходит через точку $A$.

По определению окружности, все ее точки находятся на одинаковом расстоянии, равном радиусу, от ее центра. Поскольку точка $A$ лежит на нашей окружности, расстояние от центра $O$ до точки $A$ должно быть равно радиусу $R$. Таким образом, для любого такого центра $O$ выполняется условие $OA = R$.

Это означает, что любой центр $O$ искомых окружностей удален от данной точки $A$ на постоянное расстояние $R$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки, является окружностью. Центром этой окружности будет данная точка $A$, а ее радиусом — данное расстояние $R$.

Проиллюстрируем это на рисунке:

На рисунке точка $A$ — данная точка. Точки $O_1, O_2, O_3$ — центры нескольких окружностей (красной, зеленой, фиолетовой), которые имеют радиус $R$ и проходят через точку $A$. Множество всех таких центров (синяя пунктирная линия) образует окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$.

Ответ: окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному радиусу.