Номер 17.16, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 17. Неравенство треугольника. Глава 3. Взаимное расположение прямых - номер 17.16, страница 97.

Условие.

17.16. Четыре населенных пункта расположены в точках $A, B, C, D$ (рис. 17.10). В каком месте следует построить пекарню, чтобы сумма расстояний от нее до всех четырех данных пунктов была наименьшей?

Рис. 17.10

Решение.

Решение 2.

Пусть точки A, B, C, D – это заданные населенные пункты, а точка P – место, где будет построена пекарня. Нам необходимо найти такое положение точки P, чтобы сумма расстояний от нее до всех четырех пунктов была наименьшей. Математически это означает, что мы ищем точку P, минимизирующую величину $S = PA + PB + PC + PD$.

Для решения этой задачи рассмотрим сумму расстояний, сгруппировав слагаемые по парам, соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Представим сумму $S$ в виде $S = (PA + PC) + (PB + PD)$.

Рассмотрим первую пару слагаемых $PA + PC$. Точки A, P и C образуют треугольник (или лежат на одной прямой). Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника не может быть меньше длины третьей стороны: $PA + PC \ge AC$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка P лежит на отрезке AC.

Аналогично, для второй пары слагаемых $PB + PD$ и точек B, P, D справедливо неравенство треугольника: $PB + PD \ge BD$. Равенство в этом случае достигается тогда и только тогда, когда точка P лежит на отрезке BD.

Сложив эти два неравенства, мы получим оценку для искомой суммы расстояний:

$S = (PA + PC) + (PB + PD) \ge AC + BD$

Это означает, что наименьшее возможное значение суммы расстояний $S$ равно сумме длин диагоналей четырехугольника ABCD. Такое наименьшее значение достигается в том случае, когда оба неравенства превращаются в равенства одновременно. Это возможно, если точка P одновременно принадлежит и отрезку AC, и отрезку BD.

Точка, которая одновременно принадлежит двум отрезкам, является их точкой пересечения. Поскольку на рисунке 17.10 точки A, B, C, D образуют выпуклый четырехугольник, его диагонали AC и BD пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку O, как показано на рисунке ниже.

Таким образом, единственная точка, для которой сумма расстояний до вершин A, B, C, D минимальна, — это точка пересечения диагоналей AC и BD. Именно в этой точке и следует построить пекарню.

Ответ: Пекарню следует построить в точке пересечения отрезков AC и BD, то есть в точке пересечения диагоналей четырехугольника, образованного населенными пунктами.