Страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Дана прямая $c$ и две точки $A$ и $B$, лежащие от нее по разные стороны (рис. 17.8). Постройте такую точку $C$ на прямой $c$, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая.

Рис. 17.8

Для решения данной задачи необходимо найти на прямой $c$ такую точку $C$, чтобы разность расстояний $AC - CB$ была максимальной. Воспользуемся методом осевой симметрии. Построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$. По определению симметрии, для любой точки $C$, лежащей на оси симметрии $c$, расстояния до симметричных точек равны: $CB = CB'$. Тогда разность, которую нам нужно максимизировать, можно переписать в виде $AC - CB = AC - CB'$. Теперь задача сводится к нахождению на прямой $c$ такой точки $C$, для которой разность $AC - CB'$ будет наибольшей.

Построение

1. Строим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$. Для этого из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $c$ и на его продолжении за прямую $c$ откладываем отрезок, равный расстоянию от точки $B$ до прямой $c$.

2. Соединяем точки $A$ и $B'$ прямой линией.

3. Точка пересечения прямой $AB'$ с прямой $c$ и есть искомая точка $C$.

Доказательство

Мы ищем максимум выражения $AC - CB'$, где $C$ — точка на прямой $c$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $c$, а точка $B'$ симметрична $B$, то точки $A$ и $B'$ лежат по одну сторону от прямой $c$.

Рассмотрим точки $A$, $B'$ и любую точку $C$ на прямой $c$. Эти три точки образуют треугольник $ACB'$ (или лежат на одной прямой в случае, когда $C$ — точка пересечения $AB'$ и $c$). Согласно неравенству треугольника, разность длин двух сторон не может превышать длину третьей стороны: $|AC - CB'| \le AB'$. Это означает, что $AC - CB' \le AB'$.

Максимальное значение разности $AC - CB'$, равное $AB'$, достигается только тогда, когда точки $A$, $B'$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $B'$ находится между $A$ и $C$ (или $A$ между $B'$ и $C$, что дает отрицательную разность). Наше построение как раз и находит такую точку $C$ как пересечение прямой $AB'$ и прямой $c$.

Для любой другой точки $C_1$ на прямой $c$, отличной от $C$, точки $A$, $C_1$, $B'$ образуют невырожденный треугольник. Для него будет выполняться строгое неравенство $AC_1 - C_1B' < AB'$, а значит, $AC_1 - C_1B < AB'$. Таким образом, построенная точка $C$ действительно обеспечивает наибольшую возможную разность расстояний.

Ответ: Искомая точка $C$ — это точка пересечения прямой $c$ с прямой, проходящей через точку $A$ и точку $B'$, которая симметрична точке $B$ относительно прямой $c$.

17.15. На прямой c укажите точку C, для которой разность $AC - CB$ наибольшая (рис. 17.9).

а)

б)

Рис. 17.9

Для решения задачи воспользуемся неравенством треугольника. Для любых трех точек A, B и C на плоскости выполняется неравенство $|AC - CB| \le AB$.

Это означает, что разность расстояний от точки C до двух фиксированных точек A и B не может превышать расстояние между точками A и B. Максимальное значение разности $AC - CB$ равно $AB$. Это равенство достигается в том случае, когда точка C лежит на прямой, проходящей через точки A и B, причем точка B находится между A и C (или C совпадает с B).

Поскольку искомая точка C должна лежать на заданной прямой $c$, для нахождения точки, в которой разность $AC - CB$ наибольшая, необходимо найти точку пересечения прямой $c$ с прямой, проходящей через точки A и B.

а) Проведем прямую через точки A и B. Точка C, в которой эта прямая пересекает прямую $c$, и будет искомой точкой, для которой разность $AC - CB$ является наибольшей.

Ответ: Искомая точка C является точкой пересечения прямой $c$ и прямой, проходящей через точки A и B, как показано на рисунке.

б) Аналогично предыдущему случаю, проведем прямую через точки A и B. Точка пересечения этой прямой с прямой $c$ будет искомой точкой C.

Ответ: Искомая точка C является точкой пересечения прямой $c$ и прямой, проходящей через точки A и B, как показано на рисунке.

17.16. Четыре населенных пункта расположены в точках $A, B, C, D$ (рис. 17.10). В каком месте следует построить пекарню, чтобы сумма расстояний от нее до всех четырех данных пунктов была наименьшей?

Рис. 17.10

Пусть точки A, B, C, D – это заданные населенные пункты, а точка P – место, где будет построена пекарня. Нам необходимо найти такое положение точки P, чтобы сумма расстояний от нее до всех четырех пунктов была наименьшей. Математически это означает, что мы ищем точку P, минимизирующую величину $S = PA + PB + PC + PD$.

Для решения этой задачи рассмотрим сумму расстояний, сгруппировав слагаемые по парам, соответствующим диагоналям четырехугольника ABCD. Представим сумму $S$ в виде $S = (PA + PC) + (PB + PD)$.

Рассмотрим первую пару слагаемых $PA + PC$. Точки A, P и C образуют треугольник (или лежат на одной прямой). Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника не может быть меньше длины третьей стороны: $PA + PC \ge AC$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка P лежит на отрезке AC.

Аналогично, для второй пары слагаемых $PB + PD$ и точек B, P, D справедливо неравенство треугольника: $PB + PD \ge BD$. Равенство в этом случае достигается тогда и только тогда, когда точка P лежит на отрезке BD.

Сложив эти два неравенства, мы получим оценку для искомой суммы расстояний:

$S = (PA + PC) + (PB + PD) \ge AC + BD$

Это означает, что наименьшее возможное значение суммы расстояний $S$ равно сумме длин диагоналей четырехугольника ABCD. Такое наименьшее значение достигается в том случае, когда оба неравенства превращаются в равенства одновременно. Это возможно, если точка P одновременно принадлежит и отрезку AC, и отрезку BD.

Точка, которая одновременно принадлежит двум отрезкам, является их точкой пересечения. Поскольку на рисунке 17.10 точки A, B, C, D образуют выпуклый четырехугольник, его диагонали AC и BD пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку O, как показано на рисунке ниже.

Таким образом, единственная точка, для которой сумма расстояний до вершин A, B, C, D минимальна, — это точка пересечения диагоналей AC и BD. Именно в этой точке и следует построить пекарню.

Ответ: Пекарню следует построить в точке пересечения отрезков AC и BD, то есть в точке пересечения диагоналей четырехугольника, образованного населенными пунктами.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

17.17. С помощью циркуля нарисуйте окружность с центром $O$ и радиусом 2 см. Какому неравенству удовлетворяют точки, расположенные:

а) внутри окружности;

б) вне окружности?

Сначала построим окружность с центром в точке O и радиусом 2 см. Для этого используется циркуль: игла циркуля устанавливается в точку O, а расстояние между иглой и грифелем задается равным 2 см. Затем грифель проводится по бумаге, описывая окружность.

Теперь определим, какому неравенству удовлетворяют точки, расположенные внутри и вне окружности.

а) внутри окружностиПо определению, любая точка, находящаяся внутри окружности, расположена на расстоянии от центра, которое меньше радиуса окружности. В данной задаче центр окружности — точка O, а радиус $R = 2$ см. Если мы возьмем любую точку X внутри этой окружности, то расстояние OX от центра O до точки X будет меньше 2 см. Это соотношение и является искомым неравенством. Ответ: $OX < 2$ см.

б) вне окружностиАналогично, любая точка, находящаяся вне окружности, расположена на расстоянии от центра, которое больше радиуса окружности. Для окружности с центром O и радиусом $R = 2$ см, любая точка Y, расположенная вне окружности, будет удалена от центра O на расстояние OY, которое больше 2 см. Это условие записывается в виде неравенства. Ответ: $OY > 2$ см.