Страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В чем заключается неравенство треугольника?

2. Что можно сказать о разности двух сторон треугольника?

3. Что можно сказать о точке C, для которой выполняется равенство $AC + CB = AB$?

1. В чем заключается неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальная теорема в геометрии, которая устанавливает соотношение между длинами сторон любого треугольника. Она гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.
Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ должны одновременно выполняться три неравенства:
$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то треугольник с такими сторонами существовать не может. Например, не существует треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 8 см, потому что $3 + 4 = 7$, а $7 < 8$. Сумма двух сторон оказалась меньше третьей, что противоречит неравенству треугольника.
Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

2. Что можно сказать о разности двух сторон треугольника?

Из неравенства треугольника вытекает важное следствие, касающееся разности длин двух сторон. Разность длин любых двух сторон треугольника всегда меньше длины третьей стороны.
Это можно доказать, преобразовав исходные неравенства. Например, из неравенства $a < b + c$ следует, что $a - b < c$. Аналогично, из неравенства $b < a + c$ следует, что $b - a < c$. Если умножить обе части последнего неравенства на -1, то знак неравенства изменится: $a - b > -c$.
Объединяя результаты ($a - b < c$ и $a - b > -c$), мы получаем двойное неравенство: $-c < a - b < c$. Это эквивалентно записи с использованием модуля:
$|a - b| < c$
Аналогично можно показать для других пар сторон:
$|a - c| < b$
$|b - c| < a$
Таким образом, любая сторона треугольника больше модуля разности двух других его сторон.
Ответ: Разность двух любых сторон треугольника всегда меньше третьей стороны.

3. Что можно сказать о точке C, для которой выполняется равенство AC + CB = AB?

Равенство $AC + CB = AB$, где $AC$, $CB$ и $AB$ — это расстояния между точками A, C и B, является предельным случаем неравенства треугольника, которое в общем виде записывается как $AC + CB \ge AB$ для любых трех точек.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда все три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), и при этом точка С находится между точками А и В. Иными словами, точка С принадлежит отрезку AB.

Если бы точка C не лежала на отрезке AB, то точки A, B, C образовывали бы невырожденный треугольник, и для них выполнялось бы строгое неравенство $AC + CB > AB$, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего их.
Ответ: Точка C лежит на отрезке AB, то есть принадлежит прямой, проходящей через точки A и B, и находится между ними.

17.1. Можно ли построить треугольник со сторонами:

а) 13 см, 2 см, 8 см;

б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м?

а) Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть строго больше длины третьей стороны. Для проверки достаточно убедиться, что сумма длин двух меньших сторон больше длины наибольшей стороны. В данном случае даны стороны $13 \text{ см}$, $2 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Наибольшая сторона — $13 \text{ см}$. Две другие стороны — $2 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Проверим их сумму: $2 + 8 = 10$. Сравним эту сумму с длиной наибольшей стороны: $10 \text{ см} < 13 \text{ см}$. Неравенство треугольника не выполняется, так как сумма двух сторон меньше третьей. Ответ: нет, построить треугольник с такими сторонами нельзя.

б) Проверим выполнение неравенства треугольника для сторон $1 \text{ м}$, $0,5 \text{ м}$ и $0,5 \text{ м}$. Сумма длин двух сторон должна быть строго больше третьей. Возьмем две стороны по $0,5 \text{ м}$ и сравним их сумму с третьей стороной $1 \text{ м}$: $0,5 + 0,5 = 1$. Получаем, что сумма длин двух сторон равна третьей: $1 \text{ м} = 1 \text{ м}$. Так как сумма не *строго* больше, неравенство треугольника не выполняется. В таком случае говорят о вырожденном треугольнике, все вершины которого лежат на одной прямой. Построить обычный (невырожденный) треугольник невозможно. Ответ: нет, построить треугольник с такими сторонами нельзя.

17.2. Могут ли стороны треугольника относиться как:

а) $1 : 2 : 3$;

б) $2 : 3 : 6$;

в) $1 : 1 : 2$?

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей (оставшейся) стороны. Если обозначить стороны как $a$, $b$ и $c$, то должны выполняться три неравенства: $a+b>c$, $a+c>b$ и $b+c>a$. На практике достаточно проверить только одно условие: сумма двух меньших сторон должна быть больше наибольшей стороны.

а) 1 : 2 : 3

Пусть стороны треугольника пропорциональны данным числам, то есть их длины равны $k$, $2k$ и $3k$, где $k$ — некоторый положительный коэффициент пропорциональности.

Наибольшая сторона равна $3k$. Две другие стороны — $k$ и $2k$.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника для этих сторон. Сложим длины двух меньших сторон и сравним с длиной наибольшей:

$k + 2k > 3k$

$3k > 3k$

Данное неравенство является неверным, так как $3k$ равно $3k$, а не строго больше. Это означает, что такой треугольник является вырожденным, то есть все его вершины лежат на одной прямой. Следовательно, невырожденный треугольник с таким соотношением сторон существовать не может.
Ответ: нет.

б) 2 : 3 : 6

Пусть стороны треугольника равны $2k$, $3k$ и $6k$, где $k > 0$.

Наибольшая сторона равна $6k$. Две другие стороны — $2k$ и $3k$.

Проверим неравенство треугольника, сложив две меньшие стороны:

$2k + 3k > 6k$

$5k > 6k$

Это неравенство неверно для любого положительного $k$ (если разделить обе части на $k$, получим $5 > 6$, что ложно). Таким образом, треугольник с таким соотношением сторон не может существовать.
Ответ: нет.

в) 1 : 1 : 2

Пусть стороны треугольника равны $k$, $k$ и $2k$, где $k > 0$.

Наибольшая сторона равна $2k$. Две другие стороны равны по $k$.

Проверим неравенство треугольника для этих сторон:

$k + k > 2k$

$2k > 2k$

Это неравенство также является неверным, поскольку $2k$ равно $2k$. Как и в случае (а), это вырожденный треугольник, у которого вершины лежат на одной прямой. Следовательно, невырожденный треугольник с таким соотношением сторон существовать не может.
Ответ: нет.

17.3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, другая — 10 см. Какая из них является основанием?

17.4. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его три

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием. Даны две стороны длиной 25 см и 10 см. Это означает, что в треугольнике либо две стороны по 25 см и одна 10 см, либо две стороны по 10 см и одна 25 см. Чтобы определить, какой из этих вариантов возможен, воспользуемся неравенством треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Пусть боковые стороны равны 10 см, а основание — 25 см. Тогда стороны треугольника равны 10 см, 10 см и 25 см.Проверим неравенство треугольника: сумма двух боковых сторон должна быть больше основания.$10 + 10 > 25$$20 > 25$Это неравенство неверно, следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

2. Пусть боковые стороны равны 25 см, а основание — 10 см. Тогда стороны треугольника равны 25 см, 25 см и 10 см.Проверим неравенство треугольника. Так как две стороны равны, достаточно проверить, что сумма одной боковой стороны и основания больше другой боковой стороны.$25 + 10 > 25$$35 > 25$Это неравенство верно. (Также очевидно, что $25 + 25 > 10$). Следовательно, треугольник с такими сторонами существует.

Таким образом, единственно возможный вариант — это треугольник с боковыми сторонами по 25 см и основанием 10 см.

Ответ: Основанием является сторона длиной 10 см.

17.4. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 6 см и 3 см; б) 8 см и 2 см.

Для решения этой задачи используется свойство равнобедренного треугольника, у которого две стороны равны (боковые стороны), и неравенство треугольника. Неравенство треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда должна быть больше длины третьей стороны. Пусть стороны треугольника $a$, $b$ и $c$. Тогда должны выполняться три неравенства: $a+b>c$, $a+c>b$ и $b+c>a$.

а) Даны две стороны равнобедренного треугольника: 6 см и 3 см. Третья сторона должна быть равна одной из данных сторон, чтобы треугольник был равнобедренным. Рассмотрим два возможных варианта.

Случай 1: Боковые стороны равны 6 см, а основание равно 3 см.
Стороны треугольника: 6 см, 6 см, 3 см.
Проверим неравенство треугольника. Достаточно убедиться, что сумма двух меньших сторон больше третьей. В данном случае $6 + 3 > 6$. Неравенство $9 > 6$ является верным. Следовательно, такой треугольник существует.

Случай 2: Боковые стороны равны 3 см, а основание равно 6 см.
Стороны треугольника: 3 см, 3 см, 6 см.
Проверим неравенство треугольника: $3 + 3 > 6$. Неравенство $6 > 6$ является ложным, так как сумма двух сторон должна быть строго больше третьей. Следовательно, такой треугольник не существует.

Таким образом, единственно возможный набор сторон — это 6 см, 6 см и 3 см. Искомая третья сторона равна 6 см.
Ответ: 6 см.

б) Даны две стороны равнобедренного треугольника: 8 см и 2 см. Третья сторона также должна быть равна одной из этих сторон.

Случай 1: Боковые стороны равны 8 см, а основание равно 2 см.
Стороны треугольника: 8 см, 8 см, 2 см.
Проверим неравенство треугольника: $8 + 2 > 8$. Неравенство $10 > 8$ является верным. Такой треугольник существует.

Случай 2: Боковые стороны равны 2 см, а основание равно 8 см.
Стороны треугольника: 2 см, 2 см, 8 см.
Проверим неравенство треугольника: $2 + 2 > 8$. Неравенство $4 > 8$ является ложным. Такой треугольник не существует.

Следовательно, единственно возможный набор сторон — это 8 см, 8 см и 2 см. Искомая третья сторона равна 8 см.
Ответ: 8 см.

17.5. Группа туристов должна попасть из пункта $A$ в пункт $B$ (рис. 17.5). Из $A$ в $B$ несколько дорог. Какая из них быстрее приведет к цели, если скорость движения по любой из дорог одна и та же. Объясните ответ.

Рис. 17.5

Чтобы определить, какая из дорог быстрее приведёт к цели, нужно сравнить время, затрачиваемое на каждый возможный маршрут. Время движения $t$ связано с расстоянием $s$ и скоростью $v$ формулой $t = \frac{s}{v}$. По условию задачи, скорость движения $v$ на всех дорогах одинакова. Это значит, что время в пути прямо пропорционально пройденному расстоянию. Следовательно, самый быстрый путь — это путь с наименьшей длиной. Задача сводится к нахождению самого короткого маршрута из пункта А в пункт В.

На рисунке показаны различные пути из А в В. Существует прямой путь, представленный отрезком АВ, и обходные пути, которые проходят через одну или несколько промежуточных точек (например, путь А-С-В или А-Е-В).

Согласно основному свойству геометрии, известному как неравенство треугольника, кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Любой другой путь, состоящий из ломаной линии, будет длиннее.

Рассмотрим, например, путь через точку С (А-С-В). Точки А, В и С образуют треугольник АСВ. Для любого треугольника длина одной его стороны всегда меньше суммы длин двух других сторон. Таким образом, для треугольника АСВ справедливо неравенство: $AB < AC + CB$. Это означает, что длина прямого пути АВ меньше, чем длина обходного пути АСВ.

Аналогичное рассуждение применимо ко всем другим обходным маршрутам. Например, для пути А-Е-В, состоящего из отрезков АЕ и ЕВ, из треугольника АЕВ следует, что $AB < AE + EB$. Любой путь из А в В, проходящий через промежуточные точки, будет представлять собой ломаную линию, длина которой всегда больше длины прямого отрезка АВ.

Поскольку прямая дорога из А в В является самым коротким маршрутом, а скорость движения постоянна, то именно этот путь будет самым быстрым.

Ответ: Быстрее всего приведет к цели прямая дорога из пункта А в пункт В.

17.6. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, другая — 5 см. Найдите периметр данного треугольника.

В равнобедренном треугольнике по определению две стороны равны. В условии задачи даны длины двух сторон: 12 см и 5 см. Это означает, что возможны два варианта набора сторон для этого треугольника.

Вариант 1: Две равные (боковые) стороны по 5 см, а третья сторона (основание) — 12 см.
Чтобы треугольник мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.Проверим: $5 + 5 > 12$. Это можно записать как $10 > 12$, что является ложным утверждением. Следовательно, треугольник с такими сторонами существовать не может.

Вариант 2: Две равные (боковые) стороны по 12 см, а третья сторона (основание) — 5 см.
Проверим неравенство треугольника для этого случая. Достаточно проверить, что сумма двух меньших сторон больше большей стороны: $12 + 5 > 12$. Это можно записать как $17 > 12$, что является истинным утверждением. Следовательно, треугольник с такими сторонами существует.

Таким образом, единственный возможный вариант — это треугольник со сторонами 12 см, 12 см и 5 см.
Периметр треугольника ($P$) — это сумма длин всех его сторон:
$P = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} + 5 \text{ см} = 29 \text{ см}$.

Ответ: 29 см.