Номер 17.14, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.14. Дана прямая $c$ и две точки $A$ и $B$, лежащие от нее по разные стороны (рис. 17.8). Постройте такую точку $C$ на прямой $c$, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая.

Рис. 17.8

Для решения данной задачи необходимо найти на прямой $c$ такую точку $C$, чтобы разность расстояний $AC - CB$ была максимальной. Воспользуемся методом осевой симметрии. Построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$. По определению симметрии, для любой точки $C$, лежащей на оси симметрии $c$, расстояния до симметричных точек равны: $CB = CB'$. Тогда разность, которую нам нужно максимизировать, можно переписать в виде $AC - CB = AC - CB'$. Теперь задача сводится к нахождению на прямой $c$ такой точки $C$, для которой разность $AC - CB'$ будет наибольшей.

Построение

1. Строим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $c$. Для этого из точки $B$ опускаем перпендикуляр на прямую $c$ и на его продолжении за прямую $c$ откладываем отрезок, равный расстоянию от точки $B$ до прямой $c$.

2. Соединяем точки $A$ и $B'$ прямой линией.

3. Точка пересечения прямой $AB'$ с прямой $c$ и есть искомая точка $C$.

Доказательство

Мы ищем максимум выражения $AC - CB'$, где $C$ — точка на прямой $c$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $c$, а точка $B'$ симметрична $B$, то точки $A$ и $B'$ лежат по одну сторону от прямой $c$.

Рассмотрим точки $A$, $B'$ и любую точку $C$ на прямой $c$. Эти три точки образуют треугольник $ACB'$ (или лежат на одной прямой в случае, когда $C$ — точка пересечения $AB'$ и $c$). Согласно неравенству треугольника, разность длин двух сторон не может превышать длину третьей стороны: $|AC - CB'| \le AB'$. Это означает, что $AC - CB' \le AB'$.

Максимальное значение разности $AC - CB'$, равное $AB'$, достигается только тогда, когда точки $A$, $B'$ и $C$ лежат на одной прямой, причем точка $B'$ находится между $A$ и $C$ (или $A$ между $B'$ и $C$, что дает отрицательную разность). Наше построение как раз и находит такую точку $C$ как пересечение прямой $AB'$ и прямой $c$.

Для любой другой точки $C_1$ на прямой $c$, отличной от $C$, точки $A$, $C_1$, $B'$ образуют невырожденный треугольник. Для него будет выполняться строгое неравенство $AC_1 - C_1B' < AB'$, а значит, $AC_1 - C_1B < AB'$. Таким образом, построенная точка $C$ действительно обеспечивает наибольшую возможную разность расстояний.

Ответ: Искомая точка $C$ — это точка пересечения прямой $c$ с прямой, проходящей через точку $A$ и точку $B'$, которая симметрична точке $B$ относительно прямой $c$.