Номер 17.8, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.8. На прямой с укажите точку C, для которой сумма расстояний $AC + CB$ наименьшая (рис. 17.6).

а)

б)

в)

Рис. 17.6

Задача заключается в нахождении на прямой $c$ такой точки $C$, чтобы сумма расстояний $AC + CB$ была наименьшей. Решение этой задачи, известной как задача Герона, зависит от взаимного расположения точек A и B относительно прямой $c$.

1. Если точки A и B лежат по одну сторону от прямой $c$, то для нахождения искомой точки C необходимо построить точку B', симметричную точке B относительно прямой $c$. Тогда для любой точки C на прямой $c$ длина отрезка $CB$ будет равна длине отрезка $CB'$, и сумма $AC + CB$ будет равна сумме $AC + CB'$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки A, C и B' лежат на одной прямой, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая. Таким образом, искомая точка C является точкой пересечения отрезка AB' с прямой $c$.

2. Если точки A и B лежат по разные стороны от прямой $c$, то согласно неравенству треугольника, для любой точки C, не лежащей на отрезке AB, выполняется $AC + CB > AB$. Равенство $AC + CB = AB$ достигается только тогда, когда точка C лежит на отрезке AB. Следовательно, искомая точка C является точкой пересечения отрезка AB с прямой $c$.

а) В данном случае точки A и B расположены по одну сторону от прямой c. Для нахождения точки C, минимизирующей сумму $AC+CB$, воспользуемся методом отражения. Отразим точку B относительно прямой c, чтобы получить точку B'. Искомая точка C будет лежать на пересечении отрезка AB' и прямой c. На рисунке ниже показано это построение: зеленой линией показан кратчайший путь, а серой пунктирной линией — построение точки B'.

Введем систему координат, приняв левый нижний угол сетки за начало координат (0,0), а сторону клетки за единицу длины. Координаты точек: A(1, 1) и B(5, 1). Уравнение прямой c: $y=4$. Расстояние от точки B до прямой c равно $4-1=3$. Следовательно, отраженная точка B' будет иметь координаты (5, 4+3), то есть B'(5, 7). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1) и B'(5, 7): $y - 1 = \frac{7-1}{5-1}(x-1)$, что упрощается до $y - 1 = \frac{3}{2}(x-1)$. Для нахождения точки C подставим в это уравнение $y=4$: $4 - 1 = \frac{3}{2}(x-1) \Rightarrow 3 = \frac{3}{2}(x-1) \Rightarrow 2 = x-1 \Rightarrow x=3$. Таким образом, координаты точки C равны (3, 4). Так как точки A и B в данном случае равноудалены от прямой c, искомая точка C также является основанием перпендикуляра, опущенного из середины отрезка AB на прямую c.

Ответ: Искомая точка C находится на прямой c в точке с координатами (3, 4), если принять левый нижний узел сетки за начало координат. Эта точка является пересечением прямой c и перпендикуляра к ней, проходящего через середину отрезка AB.

б) В этом случае точки A и B также расположены по одну сторону от прямой c, поэтому применяем тот же метод отражения. Отражаем точку B относительно прямой c, получаем точку B', и искомая точка C будет являться пересечением отрезка AB' с прямой c.

Введем аналогичную систему координат. Координаты точек: A(1, 2) и B(5, 1). Уравнение прямой c: $y=4$. Отразим точку B(5, 1) относительно прямой $y=4$. Расстояние от B до прямой равно $4-1=3$. Координаты отраженной точки B' будут (5, 4+3), то есть B'(5, 7). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 2) и B'(5, 7): $y - 2 = \frac{7-2}{5-1}(x-1)$, что равносильно $y - 2 = \frac{5}{4}(x-1)$. Чтобы найти координаты точки C, подставим $y=4$: $4 - 2 = \frac{5}{4}(x-1) \Rightarrow 2 = \frac{5}{4}(x-1) \Rightarrow 8 = 5(x-1) \Rightarrow 8 = 5x-5 \Rightarrow 5x=13 \Rightarrow x=2.6$. Координаты точки C: (2.6, 4).

Ответ: Искомая точка C находится на прямой c в точке с координатами (2.6, 4).

в) Здесь точки A и B лежат по разные стороны от прямой c. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, их соединяющего. Сумма $AC+CB$ будет минимальной и равной длине отрезка $AB$, если точка C лежит на этом отрезке. Следовательно, искомая точка C — это точка пересечения отрезка AB и прямой c.

Введем систему координат. Координаты точек: A(1, 3) и B(4, 1). Прямая c проходит через точки (0, 5) и (5, 0), ее уравнение: $y = -x+5$. Проверим, лежит ли точка B на прямой c, подставив ее координаты в уравнение: $1 = -4+5$, что является верным равенством. Так как точка B уже лежит на прямой c, то отрезок AB пересекает прямую c в самой точке B. Таким образом, искомая точка C совпадает с точкой B, а минимальная сумма расстояний равна длине отрезка AB.

Ответ: Искомая точка C совпадает с точкой B.