Номер 17.12, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 17. Неравенство треугольника. Глава 3. Взаимное расположение прямых - номер 17.12, страница 96.

Условие.

17.12. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается.

Решение.

Решение 2.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к стороне $BC$. Требуется доказать, что медиана $AM$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, между которыми она заключена, то есть, что выполняется неравенство: $AM < \frac{AB + AC}{2}$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Соединим точку $D$ с точкой $C$. В результате получим четырехугольник $ABDC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$. В них сторона $AM$ равна стороне $DM$ по построению, сторона $BM$ равна стороне $CM$, так как $AM$ — медиана, а угол $\angle AMB$ равен углу $\angle DMC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle DCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для стороны $AD$ это неравенство записывается как: $AD < AC + DC$.

По нашему построению, длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MD$. Так как $MD = AM$, то $AD = 2 \cdot AM$. Мы также установили, что $DC = AB$. Подставим эти выражения в неравенство треугольника:

$2 \cdot AM < AC + AB$

Разделив обе части неравенства на 2, получаем требуемое соотношение:

$AM < \frac{AB + AC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена.

Ответ: Утверждение доказано.