Страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.6. Каково взаимное расположение прямой и окружности, если радиус окружности равен 3 см, а расстояние от центра окружности до прямой равно:

а) 2 см;

б) 3 см;

в) 4 см?

Для определения взаимного расположения прямой и окружности необходимо сравнить радиус окружности ($r$) и расстояние от ее центра до прямой ($d$).

Возможны три случая:

1. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$), то прямая и окружность имеют две общие точки (прямая является секущей).

2. Если расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$), то прямая и окружность имеют одну общую точку (прямая является касательной).

3. Если расстояние от центра до прямой больше радиуса ($d > r$), то прямая и окружность не имеют общих точек.

В данной задаче радиус окружности $r = 3$ см.

а) Расстояние от центра окружности до прямой $d = 2$ см.
Сравниваем $d$ и $r$: $2$ см $<$ $3$ см, то есть $d < r$.
Следовательно, прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Ответ: прямая и окружность пересекаются в двух точках.

б) Расстояние от центра окружности до прямой $d = 3$ см.
Сравниваем $d$ и $r$: $3$ см $=$ $3$ см, то есть $d = r$.
Следовательно, прямая и окружность имеют одну общую точку (касаются).

Ответ: прямая и окружность имеют одну общую точку (касаются).

в) Расстояние от центра окружности до прямой $d = 4$ см.
Сравниваем $d$ и $r$: $4$ см $>$ $3$ см, то есть $d > r$.
Следовательно, прямая и окружность не имеют общих точек.

Ответ: прямая и окружность не имеют общих точек.

19.7. На клетчатой бумаге через точку А проведите касательную к данной окружности (рис. 19.5).

а)

б)

Рис. 19.5

Для построения касательной к окружности в точке, лежащей на ней, используется свойство о том, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На клетчатой бумаге это удобно сделать с помощью построения перпендикулярных векторов или используя угловые коэффициенты прямых.

Общий алгоритм решения:

1. Определить координаты центра окружности (O) и точки касания (A) по клеткам.

2. Найти вектор радиуса $\vec{OA}$ или угловой коэффициент $k_{OA}$ прямой, содержащей радиус.

3. Построить прямую, проходящую через точку A, перпендикулярно радиусу OA. Для этого можно:

а) Найти вектор, перпендикулярный вектору $\vec{OA}$. Если $\vec{OA} = (x, y)$, то перпендикулярный вектор будет $(-y, x)$ или $(y, -x)$. Отложив этот вектор от точки A, получим вторую точку для построения касательной.

б) Найти угловой коэффициент касательной $k_{кас}$. Он связан с угловым коэффициентом радиуса $k_{OA}$ соотношением $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$. Затем построить прямую, проходящую через точку A с найденным угловым коэффициентом.

а) 1. Введем систему координат так, чтобы узлы сетки имели целочисленные координаты. Пусть левый нижний узел сетки 5x5 имеет координаты (0, 0). Тогда точка A находится в узле с координатами (1, 4). Центр окружности O, в силу симметрии, находится в точке с координатами (2.5, 2.5).

2. Найдем угловой коэффициент прямой OA:

$k_{OA} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 - 2.5}{1 - 2.5} = \frac{1.5}{-1.5} = -1$

3. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ должен удовлетворять условию перпендикулярности: $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$.

$k_{кас} \cdot (-1) = -1 \implies k_{кас} = 1$

4. Теперь нужно провести через точку A(1, 4) прямую с угловым коэффициентом 1. Такая прямая на каждый 1 шаг вправо поднимается на 1 шаг вверх. Она пройдет через другие узлы сетки, например, (0, 3) и (2, 5). Проводим эту прямую.

Ответ: Касательная построена синим цветом на рисунке выше.

б) 1. Аналогично, введем систему координат. Пусть левый нижний узел сетки 6x6 имеет координаты (0, 0). Точка A находится в узле (1, 5). Центр окружности O находится в узле (3, 3).

2. Найдем угловой коэффициент прямой OA:

$k_{OA} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5 - 3}{1 - 3} = \frac{2}{-2} = -1$

3. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$, перпендикулярной радиусу, также будет равен 1:

$k_{кас} \cdot (-1) = -1 \implies k_{кас} = 1$

4. Проводим через точку A(1, 5) прямую с угловым коэффициентом 1. Она пройдет через узлы (0, 4) и (2, 6). Проводим эту прямую.

Ответ: Касательная построена синим цветом на рисунке выше.

19.8. На клетчатой бумаге из точки $A$ проведите касательные к данной окружности (рис. 19.6).

а)

б)

Рис. 19.6

Для построения касательных к окружности из точки, лежащей вне этой окружности, используется следующий геометрический метод:

1. Обозначить центр данной окружности (например, точкой О).
2. Соединить отрезком заданную точку (А) и центр окружности (О).
3. Найти середину отрезка ОА (например, точку М).
4. Построить вспомогательную окружность, для которой отрезок ОА является диаметром. Центром этой новой окружности будет точка М, а радиусом — отрезок МО.
5. Точки пересечения исходной и вспомогательной окружностей (Т₁ и Т₂) являются точками касания. Это справедливо, так как углы ∠ОТ₁А и ∠ОТ₂А опираются на диаметр ОА вспомогательной окружности и, следовательно, являются прямыми.
6. Прямые, проходящие через точку А и точки касания Т₁ и Т₂, и есть искомые касательные.

Применим этот метод к задачам.

а) На клетчатой бумаге определяем центр окружности O и соединяем его с точкой А. Находим середину М отрезка ОА и строим вспомогательную окружность с центром в М и радиусом, равным половине длины ОА. Точки пересечения этой вспомогательной окружности с исходной являются точками касания. Проводим через них и точку А две прямые — это и будут касательные.

На рисунке показан результат построения. Исходная окружность и точка А показаны красным, вспомогательные построения (центры, отрезок ОА, вспомогательная окружность) — серым, а искомые касательные — синим.

Ответ: Касательные построены на рисунке выше.

б) Решение полностью аналогично предыдущему пункту. Находим центр окружности O, строим отрезок ОА, находим его середину М. Затем строим вспомогательную окружность с диаметром ОА. Точки пересечения Т₁ и Т₂ двух окружностей являются точками касания. Проводим прямые АТ₁ и АТ₂.

На рисунке показан результат построения. Цветовые обозначения те же: красным — исходные данные, серым — вспомогательные построения, синим — искомые касательные.

Ответ: Касательные построены на рисунке выше.

19.9. Две прямые касаются окружности в двух диаметрально-противоположных точках. Каково взаимное расположение этих прямых?

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Прямые $a$ и $b$ касаются этой окружности в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию задачи, точки касания $A$ и $B$ являются диаметрально-противоположными. Это означает, что отрезок $AB$ проходит через центр окружности $O$ и является ее диаметром.

Рассмотрим решение, опираясь на свойства касательных и параллельных прямых.
1. По свойству касательной к окружности, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
2. Следовательно, касательная $a$ в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$. Это можно записать как $a \perp OA$.
3. Аналогично, касательная $b$ в точке $B$ перпендикулярна радиусу $OB$. Это можно записать как $b \perp OB$.
4. Поскольку точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой (диаметре), то радиусы $OA$ и $OB$ являются частями одной и той же прямой $AB$.
5. Таким образом, обе прямые $a$ и $b$ перпендикулярны одной и той же прямой $AB$.
6. В евклидовой геометрии существует признак параллельности прямых: если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
7. На основании этого признака, так как $a \perp AB$ и $b \perp AB$, мы заключаем, что $a \parallel b$.

Ответ: Эти прямые параллельны.

19.10. Сколько можно провести прямых, касающихся двух данных окружностей, изображенных на рисунке 19.7?

Рис. 19.7

На рисунке изображены две окружности, которые не пересекаются и не касаются друг друга, при этом одна не лежит внутри другой. В этом случае к ним можно провести четыре общие касательные. Общие касательные — это прямые, которые касаются обеих окружностей одновременно.

Существует два типа общих касательных:

1. Внешние касательные — это прямые, по отношению к которым обе окружности лежат по одну сторону. Для данного случая можно провести две такие касательные (на схеме ниже они показаны синим цветом).

2. Внутренние касательные — это прямые, по отношению к которым окружности лежат по разные стороны. Таких касательных также можно провести две (на схеме они показаны зелёным цветом).

Схематично все четыре касательные можно изобразить следующим образом:

Таким образом, всего можно провести $2$ внешние и $2$ внутренние касательные, что в сумме составляет $2 + 2 = 4$ прямые.

Ответ: 4