Номер 19.7, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.7. На клетчатой бумаге через точку А проведите касательную к данной окружности (рис. 19.5).

а)

б)

Рис. 19.5

Для построения касательной к окружности в точке, лежащей на ней, используется свойство о том, что касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. На клетчатой бумаге это удобно сделать с помощью построения перпендикулярных векторов или используя угловые коэффициенты прямых.

Общий алгоритм решения:

1. Определить координаты центра окружности (O) и точки касания (A) по клеткам.

2. Найти вектор радиуса $\vec{OA}$ или угловой коэффициент $k_{OA}$ прямой, содержащей радиус.

3. Построить прямую, проходящую через точку A, перпендикулярно радиусу OA. Для этого можно:

а) Найти вектор, перпендикулярный вектору $\vec{OA}$. Если $\vec{OA} = (x, y)$, то перпендикулярный вектор будет $(-y, x)$ или $(y, -x)$. Отложив этот вектор от точки A, получим вторую точку для построения касательной.

б) Найти угловой коэффициент касательной $k_{кас}$. Он связан с угловым коэффициентом радиуса $k_{OA}$ соотношением $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$. Затем построить прямую, проходящую через точку A с найденным угловым коэффициентом.

а) 1. Введем систему координат так, чтобы узлы сетки имели целочисленные координаты. Пусть левый нижний узел сетки 5x5 имеет координаты (0, 0). Тогда точка A находится в узле с координатами (1, 4). Центр окружности O, в силу симметрии, находится в точке с координатами (2.5, 2.5).

2. Найдем угловой коэффициент прямой OA:

$k_{OA} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4 - 2.5}{1 - 2.5} = \frac{1.5}{-1.5} = -1$

3. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ должен удовлетворять условию перпендикулярности: $k_{кас} \cdot k_{OA} = -1$.

$k_{кас} \cdot (-1) = -1 \implies k_{кас} = 1$

4. Теперь нужно провести через точку A(1, 4) прямую с угловым коэффициентом 1. Такая прямая на каждый 1 шаг вправо поднимается на 1 шаг вверх. Она пройдет через другие узлы сетки, например, (0, 3) и (2, 5). Проводим эту прямую.

Ответ: Касательная построена синим цветом на рисунке выше.

б) 1. Аналогично, введем систему координат. Пусть левый нижний узел сетки 6x6 имеет координаты (0, 0). Точка A находится в узле (1, 5). Центр окружности O находится в узле (3, 3).

2. Найдем угловой коэффициент прямой OA:

$k_{OA} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5 - 3}{1 - 3} = \frac{2}{-2} = -1$

3. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$, перпендикулярной радиусу, также будет равен 1:

$k_{кас} \cdot (-1) = -1 \implies k_{кас} = 1$

4. Проводим через точку A(1, 5) прямую с угловым коэффициентом 1. Она пройдет через узлы (0, 4) и (2, 6). Проводим эту прямую.

Ответ: Касательная построена синим цветом на рисунке выше.