Номер 19.5, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.5. Какой угол образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания?

Угол, который образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, всегда является прямым углом, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Это фундаментальное свойство в геометрии, которое следует из определения касательной и свойства расстояния от точки до прямой.

Доказательство:

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и касательная $a$, которая касается окружности в точке $A$. Отрезок $OA$ — это радиус, проведенный в точку касания.

2. По определению, касательная имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания $A$.

3. Возьмем на касательной $a$ любую другую точку $B$, отличную от $A$.

4. Поскольку точка $B$ лежит на касательной, но не является точкой касания, она находится вне окружности.

5. Это значит, что расстояние от центра $O$ до точки $B$ (длина отрезка $OB$) будет больше, чем радиус окружности ($OA=R$). Таким образом, $OB > OA$.

6. Это рассуждение верно для любой точки $B$ на прямой $a$, кроме самой точки $A$. Следовательно, отрезок $OA$ является кратчайшим из всех отрезков, соединяющих центр $O$ с точками на прямой $a$.

7. Известно, что кратчайшее расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

8. Отсюда следует, что радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$.

Таким образом, угол между радиусом $OA$ и касательной $a$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ (прямой угол).