Страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

19.11. Найдите длину отрезка $AB$ касательной (рис. 19.8). Стороны клеток равны 1.

а)

б)

Рис. 19.8

а) Для нахождения длины отрезка касательной $AB$ воспользуемся теоремой Пифагора. Введем систему координат, совмещенную с сеткой, так, что левый нижний узел сетки на рисунке имеет координаты $(0, 0)$. Сторона каждой клетки равна 1.
Из рисунка определяем координаты центра окружности $O$, точки $A$ и радиус окружности $R$.
Центр окружности $O$ имеет координаты $(2, 2)$.
Точка $A$ имеет координаты $(4, 4)$.
Радиус окружности $R$ равен 2 (например, расстояние от центра $(2, 2)$ до точки на окружности $(4, 2)$).
Отрезок $AB$ является касательной к окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания ($OB$), перпендикулярен касательной ($AB$). Это означает, что треугольник $OAB$ является прямоугольным, где $\angle OBA = 90^\circ$.
Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике $OAB$ квадрат гипотенузы $OA$ равен сумме квадратов катетов $OB$ и $AB$: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.
Отсюда можно выразить длину искомого отрезка $AB$: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2}$.
Длина катета $OB$ равна радиусу окружности: $OB = R = 2$.
Длину гипотенузы $OA$ найдем по формуле расстояния между двумя точками $O(2, 2)$ и $A(4, 4)$:
$OA = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(4-2)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8}$.
Теперь подставим найденные значения длин $OA$ и $OB$ в формулу для $AB$:
$AB = \sqrt{(\sqrt{8})^2 - 2^2} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

б) Решение для этого случая аналогично предыдущему. Введем систему координат, совмещенную с сеткой.
Определяем необходимые параметры по рисунку:
Центр окружности $O$ находится в точке с координатами $(1, 2)$.
Точка $A$ имеет координаты $(5, 1)$.
Радиус окружности $R$ равен 1 (расстояние от центра $(1, 2)$ до точки на окружности $(1, 3)$).
Так как $AB$ — касательная к окружности в точке $B$, радиус $OB$ перпендикулярен $AB$, и треугольник $OAB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$.
Применяем теорему Пифагора: $OA^2 = OB^2 + AB^2$.
Выражаем искомую длину $AB$: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2}$.
Длина катета $OB$ равна радиусу: $OB = R = 1$.
Найдем длину гипотенузы $OA$ как расстояние между точками $O(1, 2)$ и $A(5, 1)$:
$OA = \sqrt{(5-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+1} = \sqrt{17}$.
Теперь вычислим длину отрезка $AB$:
$AB = \sqrt{(\sqrt{17})^2 - 1^2} = \sqrt{17-1} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.

19.12. Докажите, что отрезки $AB$ и $CD$ общих внутренних касательных к двум окружностям (рис. 19.9) равны.

Пусть две общие внутренние касательные к двум окружностям пересекаются в точке $P$. Пусть одна касательная касается первой окружности в точке $A$ и второй окружности в точке $B$, а другая касательная касается первой окружности в точке $C$ и второй окружности в точке $D$. Таким образом, нам нужно доказать, что длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $CD$.

Рассмотрим касательные, проведенные из точки $P$ к первой (левой) окружности. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков этих касательных от точки пересечения до точек касания равны. Следовательно: $PA = PC$.

Аналогично, рассмотрим касательные, проведенные из той же точки $P$ ко второй (правой) окружности. Длины этих отрезков также равны: $PB = PD$.

Длина отрезка общей касательной $AB$ равна сумме длин отрезков $PA$ и $PB$, так как точка $P$ лежит на отрезке $AB$. $AB = PA + PB$.

Точно так же, длина отрезка общей касательной $CD$ равна сумме длин отрезков $PC$ и $PD$. $CD = PC + PD$.

Теперь мы можем сравнить длины отрезков $AB$ и $CD$. Используя установленные выше равенства, мы можем заменить $PC$ на $PA$ и $PD$ на $PB$ в выражении для $CD$: $CD = PC + PD = PA + PB$.

Так как $AB = PA + PB$ и $CD = PA + PB$, то отсюда следует, что $AB = CD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков $AB$ и $CD$ доказано на основе свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки. Длина каждого из этих отрезков равна сумме длин отрезков касательных от точки их пересечения до точек касания на каждой из окружностей.

19.13. Докажите, что отрезки $AB$ и $CD$ общих пересекающихся внешних касательных к двум окружностям (рис. 19.10) равны.

Рис. 19.10

Пусть две внешние общие касательные к двум окружностям пересекаются в точке P. Пусть первая касательная касается большей окружности в точке A и меньшей окружности в точке B. Пусть вторая касательная касается большей окружности в точке C и меньшей окружности в точке D, как показано на рисунке. Требуется доказать, что длины отрезков AB и CD равны.

Рассмотрим касательные, проведенные из точки P к большей окружности. Точками касания являются A и C. Согласно свойству касательных, проведенных к окружности из одной внешней точки, длины отрезков от этой точки до точек касания равны. Таким образом, мы получаем равенство: $PA = PC$.

Теперь рассмотрим касательные, проведенные из той же точки P к меньшей окружности. Точками касания являются B и D. По тому же свойству, длины этих отрезков касательных также равны: $PB = PD$.

Длина отрезка AB, который является частью касательной между точками касания на разных окружностях, равна разности длин отрезков PA и PB (поскольку точка B лежит на отрезке PA).
$AB = PA - PB$

Аналогично, длина отрезка CD на второй касательной равна разности длин отрезков PC и PD (поскольку точка D лежит на отрезке PC).
$CD = PC - PD$

Используя установленные ранее равенства $PA = PC$ и $PB = PD$, мы можем подставить их в выражение для длины отрезка CD: $CD = PC - PD = PA - PB$

Сравнивая полученные выражения для длин отрезков AB и CD, мы видим, что они равны:
$AB = PA - PB$
$CD = PA - PB$
Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство отрезков AB и CD доказано.

19.14. На рисунке 19.11 $DA$, $DB$, $DC$ — касательные. В каком отношении делит точка $D$ отрезок $AB$?

Рис. 19.11

В задаче даны две окружности, касающиеся в точке $C$. Прямая $AB$ является общей внешней касательной (касается первой окружности в точке $A$ и второй в точке $B$), а прямая $DC$ — общей внутренней касательной в точке $C$. Эти две касательные пересекаются в точке $D$.

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Рассмотрим левую (большую) окружность и точку $D$. Прямые $DA$ и $DC$ являются касательными к этой окружности, проведенными из точки $D$. Согласно свойству касательных, длины этих отрезков равны:

$AD = DC$

Теперь рассмотрим правую (меньшую) окружность и ту же точку $D$. Прямые $DB$ и $DC$ являются касательными к этой окружности, проведенными из точки $D$. По тому же свойству касательных, их длины также равны:

$DB = DC$

Мы получили систему из двух равенств:

$AD = DC$

$DB = DC$

Из этих равенств следует, что $AD = DB$.

Вопрос задачи состоит в том, в каком отношении точка $D$ делит отрезок $AB$. Это отношение записывается как $AD : DB$. Поскольку мы установили, что $AD = DB$, то их отношение равно $1 : 1$.

Это означает, что точка $D$ является серединой отрезка $AB$.

Ответ: 1:1.