Номер 19.16, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

19.16. Сколько общих точек могут иметь две окружности? Изобразите соответствующие случаи.

Две окружности на плоскости могут иметь ноль, одну, две или бесконечно много общих точек. Это зависит от их взаимного расположения, которое можно охарактеризовать через соотношение между расстоянием между их центрами ($d$) и их радиусами ($R_1$ и $R_2$).

Случай 1: Нет общих точек (0 точек) Этот случай возникает, когда окружности не пересекаются и не касаются. Существует два варианта:

а) Окружности лежат одна вне другой.

Это происходит, когда расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов: $d > R_1 + R_2$.

б) Одна окружность лежит внутри другой.

Это происходит, когда расстояние между центрами меньше разности их радиусов: $d < |R_1 - R_2|$. Частным случаем являются концентрические окружности, у которых центры совпадают ($d=0$), а радиусы различны.

Случай 2: Одна общая точка (касание) Это происходит, когда окружности касаются друг друга только в одной точке. Существует два варианта касания:

а) Внешнее касание.

Окружности касаются снаружи. Расстояние между центрами равно сумме их радиусов: $d = R_1 + R_2$.

б) Внутреннее касание.

Одна окружность касается другой изнутри. Расстояние между центрами равно модулю разности их радиусов: $d = |R_1 - R_2|$, при $R_1 \ne R_2$.

Случай 3: Две общие точки (пересечение) Это происходит, когда окружности пересекаются. Расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Случай 4: Бесконечно много общих точек (совпадение) Это происходит, когда окружности полностью совпадают. Их центры находятся в одной точке ($d = 0$), и их радиусы равны ($R_1 = R_2$). Все точки одной окружности являются общими для другой.

Ответ: Две окружности могут иметь 0, 1, 2 или бесконечно много общих точек.