Задания, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Попробуйте самостоятельно установить соотношение между радиусами окружностей, касающихся друг друга, и расстоянием между их центрами (рис. 20.2).

а)

б)

Рис. 20.2

Изобразите окружности, касающиеся внешним образом, и окружности, касающиеся внутренним образом.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Данный вопрос относится к первому случаю, показанному на рисунке 20.2 а). На этом рисунке окружности имеют одну общую точку и находятся одна вне другой. Такое расположение называется внешним касанием.

Ответ: Окружности касаются внешним образом.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Данный вопрос относится ко второму случаю, показанному на рисунке 20.2 б). На этом рисунке окружности также имеют одну общую точку, но одна из них (меньшая) расположена внутри другой (большей). Такое расположение называется внутренним касанием.

Ответ: Окружности касаются внутренним образом.

Попробуйте самостоятельно установить соотношение между радиусами окружностей, касающихся друг друга, и расстоянием между их центрами (рис. 20.2).

Рассмотрим два случая касания окружностей, чтобы установить искомое соотношение. Пусть радиусы окружностей равны $R$ и $r$, а расстояние между их центрами $O_1$ и $O_2$ равно $d$.

а) Внешнее касание

При внешнем касании окружности имеют одну общую точку $A$, которая лежит на отрезке, соединяющем их центры $O_1$ и $O_2$. Длина этого отрезка $d$ складывается из радиуса первой окружности $R$ (расстояние $O_1A$) и радиуса второй окружности $r$ (расстояние $O_2A$). Таким образом, расстояние между центрами равно сумме радиусов.

Формула: $d = R + r$.

б) Внутреннее касание

При внутреннем касании окружности также имеют одну общую точку $A$. Центры $O_1$, $O_2$ и точка касания $A$ лежат на одной прямой. Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей ($R > r$). Расстояние от центра большей окружности до точки касания равно ее радиусу $R$. Это расстояние складывается из расстояния между центрами $d$ и радиуса меньшей окружности $r$. То есть, $R = d + r$. Выражая отсюда $d$, получаем, что расстояние между центрами равно разности радиусов.

Формула: $d = R - r$.

Ответ: При внешнем касании расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R + r$), а при внутреннем касании — разности радиусов ($d = R - r$).

Изобразите окружности, касающиеся внешним образом, и окружности, касающиеся внутренним образом.

Окружности, касающиеся внешним образом:

Окружности, касающиеся внутренним образом:

Ответ: Изображения представлены выше.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Этот вопрос относится к первому из представленных выше изображений. На нем окружности касаются внешним образом. Они имеют одну общую точку $A$, и расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов.

Ответ: Окружности касаются внешним образом.

Как расположены относительно друг друга эти окружности?

Этот вопрос относится ко второму из представленных выше изображений. На нем окружности касаются внутренним образом. Они имеют одну общую точку $A$, и расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно разности их радиусов.

Ответ: Окружности касаются внутренним образом.