Страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.9. Изобразите геометрическое место внутренних точек угла $AOB$, равноудаленных от его сторон (рис. 21.8).

а)

б)

в)

Рис. 21.8

Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, — это биссектриса этого угла. Биссектриса — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для каждого из представленных углов необходимо построить его биссектрису.

а)Угол $AOB$ — прямой, так как его стороны лежат на перпендикулярных линиях сетки. Его градусная мера равна $90^\circ$. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$. В данной системе координат, если принять точку $O$ за начало, это будет луч, проходящий по диагоналям клеток сетки. На рисунке искомое геометрическое место точек изображено синим лучом.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — биссектриса угла $AOB$, изображенная на рисунке синим лучом.

б)Чтобы построить биссектрису неразвернутого угла $AOB$, можно найти луч, исходящий из вершины $O$, все точки которого находятся на равном расстоянии от сторон $OA$ и $OB$. Примем точку $O$ за начало координат (0,0). Луч $OA$ проходит через точку с координатами (4,1). Луч $OB$ проходит через точку с координатами (2,4). Можно аналитически или с помощью геометрических построений показать, что биссектриса этого угла будет проходить через узел сетки с координатами (5,4) относительно точки $O$. На рисунке искомое геометрическое место точек изображено синим лучом.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — биссектриса угла $AOB$, изображенная на рисунке синим лучом.

в)Примем точку $O$ за начало локальной системы координат. Луч $OA$ проходит через точку (3,1), его угловой коэффициент $k_{OA} = 1/3$. Луч $OB$ проходит через точку (-1,3), его угловой коэффициент $k_{OB} = -3$. Поскольку произведение угловых коэффициентов $k_{OA} \cdot k_{OB} = (1/3) \cdot (-3) = -1$, то стороны угла $OA$ и $OB$ перпендикулярны, и угол $AOB$ является прямым ($90^\circ$). Биссектриса делит этот угол на два равных угла по $45^\circ$. Биссектриса данного прямого угла будет иметь угловой коэффициент $k=2$. Этот луч выходит из точки $O$ и проходит через узел сетки с координатами (1,2) относительно $O$. На рисунке искомое геометрическое место точек изображено синим лучом.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — биссектриса угла $AOB$, изображенная на рисунке синим лучом.

21.10. На прямой c отметьте точку C, равноудаленную от сторон угла AOB (рис. 21.9).

a)

б)

в)

Рис. 21.9

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Следовательно, искомая точка $C$ должна лежать на биссектрисе угла $AOB$. Так как по условию точка $C$ также должна лежать на прямой $c$, то она является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$.

а) Угол $AOB$ — прямой, его вершина $O$ находится в начале координат, а стороны $OA$ и $OB$ лежат на осях координат. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$, ее уравнение $y=x$. Прямая $c$ проходит через точки с координатами $(4,0)$ и $(1,3)$, ее уравнение $y = -x+4$. Точка пересечения $C$ биссектрисы и прямой $c$ имеет координаты, удовлетворяющие обоим уравнениям. Для системы уравнений $y=x$ и $y=-x+4$ решением является точка $C(2,2)$. Построим биссектрису угла $AOB$ (синяя пунктирная линия) и отметим точку ее пересечения с прямой $c$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$. Она расположена в узле сетки с координатами $(2,2)$, если принять точку $O$ за начало координат.

б) Вершина угла $O$ находится в начале координат. Сторона $OA$ проходит через точку $(4,1)$, а сторона $OB$ — через точку $(1,4)$. Угол $AOB$ симметричен относительно прямой $y=x$, так как координаты точек на его сторонах взаимно обратны. Следовательно, биссектрисой угла $AOB$ является прямая $y=x$. Прямая $c$ — это горизонтальная прямая $y=2$. Точка пересечения $C$ биссектрисы $y=x$ и прямой $c$ ($y=2$) имеет координаты $C(2,2)$. Построим биссектрису угла $AOB$ и найдем ее пересечение с прямой $c$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$. Она расположена в узле сетки с координатами $(2,2)$, если принять точку $O$ за начало координат.

в) Вершина угла $O$ находится в начале координат. Сторона $OA$ проходит через точку $(4,2)$, а сторона $OB$ — через точку $(2,4)$. Угловые коэффициенты сторон равны $k_{OA} = 2/4 = 1/2$ и $k_{OB} = 4/2 = 2$. Так как $k_{OB} = 1/k_{OA}$, угол $AOB$ симметричен относительно прямой $y=x$, которая и является его биссектрисой. Прямая $c$ — это горизонтальная прямая $y=3$. Точка пересечения $C$ биссектрисы $y=x$ и прямой $c$ ($y=3$) имеет координаты $C(3,3)$. Построим биссектрису угла $AOB$ и найдем ее пересечение с прямой $c$.

Ответ: Искомая точка $C$ является точкой пересечения биссектрисы угла $AOB$ и прямой $c$. Она расположена в узле сетки с координатами $(3,3)$, если принять точку $O$ за начало координат.

21.11. Населенные пункты $M$, $N$, $K$ не расположены на одной прямой (рис. 21.10). Каким образом следует проложить через пункт $N$ прямолинейную дорогу, одинаково удаленную от пунктов $M$ и $K$?

Рис. 21.10

Пусть искомая прямолинейная дорога — это прямая $a$. По условию задачи, эта прямая должна проходить через точку $N$, и расстояния от точек $M$ и $K$ до прямой $a$ должны быть равны. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Геометрически, множество всех прямых, равноудаленных от двух данных точек ($M$ и $K$), состоит из двух типов:

1. Прямые, проходящие через середину отрезка, соединяющего эти точки ($MK$).

2. Прямые, параллельные прямой, проходящей через эти точки ($MK$).

Поскольку искомая дорога должна проходить через точку $N$, необходимо найти прямые из этих двух семейств, которые также содержат точку $N$. Таким образом, задача имеет два решения.

Способ 1. Дорога проходит через середину отрезка MK.

В этом случае точки $M$ и $K$ будут лежать по разные стороны от дороги.

Построение:
1. Соединить точки $M$ и $K$ отрезком $MK$.
2. Найти точку $O$ — середину отрезка $MK$.
3. Провести прямую $a_1$ через точки $N$ и $O$. Эта прямая и является одной из искомых дорог.

Доказательство:
Опустим из точек $M$ и $K$ перпендикуляры $MM'$ и $KK'$ на прямую $a_1$. Рассмотрим треугольники $\triangle MM'O$ и $\triangle KK'O$. Они прямоугольные, так как $MM' \perp a_1$ и $KK' \perp a_1$. Гипотенузы $MO$ и $KO$ равны, поскольку $O$ — середина отрезка $MK$. Углы $\angle M'OM$ и $\angle K'OK$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle MM'O = \triangle KK'O$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство катетов: $MM' = KK'$. Таким образом, прямая $a_1$ равноудалена от точек $M$ и $K$.

Ответ: Нужно соединить точки $M$ и $K$, найти середину этого отрезка, а затем провести дорогу через найденную середину и точку $N$.

Способ 2. Дорога параллельна прямой MK.

В этом случае точки $M$ и $K$ будут лежать по одну сторону от дороги.

Построение:
1. Провести прямую через точки $M$ и $K$.
2. Через точку $N$ провести прямую $a_2$, параллельную прямой $MK$. Эта прямая и является второй искомой дорогой.

Доказательство:
Поскольку прямая $a_2$ параллельна прямой $MK$, расстояние от любой точки прямой $MK$ до прямой $a_2$ одинаково. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $a_2$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $a_2$.

Ответ: Нужно провести прямую через точки $M$ и $K$, а затем проложить дорогу через точку $N$ параллельно этой прямой.

21.12. Найдите геометрическое место центров окружностей, проходящих через две данные точки $A$ и $B$.

Пусть даны две различные точки A и B. Мы ищем геометрическое место центров всех окружностей, которые проходят через обе эти точки.

Пусть O — центр некоторой окружности, а R — её радиус. Если эта окружность проходит через точки A и B, то по определению окружности, точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от центра O, и это расстояние равно радиусу R.

Следовательно, для центра O любой такой окружности должно выполняться условие: $OA = OB = R$.

Это означает, что любой центр искомой окружности является точкой, равноудаленной от точек A и B.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Докажем, что это и есть искомое геометрическое место точек.

1. Возьмем любую точку O, которая является центром окружности, проходящей через A и B. Как мы показали, для нее выполняется равенство $OA = OB$. Это означает, что точка O равноудалена от концов отрезка AB и, по определению, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

2. Теперь возьмем любую точку M, лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка, то есть $MA = MB$. Обозначим это расстояние за R'. Мы можем построить окружность с центром в точке M и радиусом R'. Так как расстояния от M до A и от M до B равны R', обе точки A и B лежат на этой окружности. Следовательно, любая точка на серединном перпендикуляре является центром окружности, проходящей через A и B.

Таким образом, мы доказали, что искомое геометрическое место точек в точности совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку AB.

На рисунке показаны две точки A и B. Прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку AB. Точки O₁ и O₂ лежат на этой прямой. Они являются центрами двух из бесконечного множества окружностей, проходящих через точки A и B.

Ответ: Геометрическим местом центров окружностей, проходящих через две данные точки A и B, является серединный перпендикуляр к отрезку AB.

21.13. Найдите геометрическое место вершин $C$ равнобедренных треугольников с данным основанием $AB$.

Пусть дан отрезок AB. Мы ищем геометрическое место точек C, для которых треугольник ABC является равнобедренным с основанием AB.

По определению равнобедренного треугольника, если AB является его основанием, то боковые стороны AC и BC должны быть равны. Таким образом, для любой искомой вершины C должно выполняться равенство $AC = BC$.

Это условие означает, что точка C должна быть равноудалена от точек A и B.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек (в нашем случае A и B), есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки (то есть к отрезку AB).

Серединный перпендикуляр — это прямая, которая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему.

Важно учесть, что точки A, B и C должны образовывать треугольник, то есть они не должны лежать на одной прямой. Если точка C совпадет с серединой M отрезка AB, то все три точки окажутся на одной прямой, и треугольник выродится в отрезок. Поэтому эту точку необходимо исключить из искомого множества.

Таким образом, геометрическое место вершин C — это все точки серединного перпендикуляра к отрезку AB, за исключением середины этого отрезка.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку AB, за исключением точки, являющейся серединой этого отрезка.