Страница 123 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.16. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса $R$, касающихся данной окружности того же радиуса $R$.

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Мы ищем геометрическое место центров $P$ всех окружностей $\omega_2$ радиуса $R$, которые касаются окружности $\omega_1$.

Касание двух окружностей может быть двух видов: внешним и внутренним. Рассмотрим оба случая.

Внешнее касание

Если окружность $\omega_2$ касается окружности $\omega_1$ внешним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $P$ равно сумме их радиусов. В данном случае оба радиуса равны $R$.

Следовательно, расстояние $OP$ вычисляется как: $OP = R + R = 2R$.

Это означает, что центр $P$ искомой окружности $\omega_2$ всегда находится на постоянном расстоянии $2R$ от фиксированной точки $O$. По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, есть окружность.

Таким образом, в случае внешнего касания геометрическое место центров $P$ — это окружность с центром в точке $O$ и радиусом $2R$.

Внутреннее касание

Если одна окружность касается другой внутренним образом, то расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

В этом случае расстояние $OP = |R - R| = 0$.

Расстояние между центрами $O$ и $P$ равно нулю тогда и только тогда, когда точки $O$ и $P$ совпадают. Если центры двух окружностей с одинаковыми радиусами совпадают, то и сами окружности совпадают. Совпадающие окружности имеют бесконечно много общих точек, а не одну, как того требует определение касания. Следовательно, этот случай не соответствует условию задачи о касании.

Таким образом, единственно возможный случай — это внешнее касание. Искомое геометрическое место точек является окружностью, концентрической (имеющей общий центр) данной окружности, но с радиусом, в два раза большим.

Ответ: Окружность с тем же центром, что и у данной окружности, и радиусом $2R$.

21.17. Найдите геометрическое место центров окружностей данного радиуса $R$, касающихся данной окружности радиуса $R_1$ ($R \ne R_1$).

Пусть дана окружность $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$. Мы ищем геометрическое место центров $O$ всех окружностей $\omega$ радиуса $R$, которые касаются окружности $\omega_1$. Касание двух окружностей может быть двух видов: внешнее и внутреннее.

Внешнее касание

Если окружность $\omega$ касается окружности $\omega_1$ внешним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $O_1$ равно сумме их радиусов.
$d(O, O_1) = R + R_1$
Так как $R$ и $R_1$ — заданные постоянные величины, их сумма $R + R_1$ также является постоянной. По определению, геометрическое место точек, равноудаленных от одной фиксированной точки ($O_1$), есть окружность. Следовательно, в этом случае искомое множество центров $O$ — это окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_{внешн} = R + R_1$.

Внутреннее касание

Если окружность $\omega$ касается окружности $\omega_1$ внутренним образом, то расстояние между их центрами $O$ и $O_1$ равно модулю разности их радиусов.
$d(O, O_1) = |R_1 - R|$
Поскольку $R$ и $R_1$ — постоянные величины и, по условию задачи, $R \neq R_1$, то $|R_1 - R|$ является постоянным положительным числом. Следовательно, в этом случае искомое множество центров $O$ — это окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $r_{внутр} = |R_1 - R|$.

Искомое геометрическое место точек является объединением множеств, найденных в обоих случаях. Это две окружности, концентрические с данной (то есть имеющие общий центр $O_1$).

На иллюстрации синим цветом показана данная окружность радиуса $R_1$. Искомое геометрическое место центров (показано красным пунктиром) состоит из двух концентрических окружностей с радиусами $R_1+R$ и $|R_1-R|$.

Ответ: Две окружности, концентрические с данной, с радиусами $R + R_1$ и $|R - R_1|$.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

21.18. Изобразите окружность и треугольник, вершины которого принадлежат этой окружности.

Для того чтобы изобразить окружность и треугольник, вершины которого лежат на этой окружности, нужно выполнить следующие действия:

1. Начертить окружность. Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Обозначим центр как O, а расстояние (радиус) как R.

2. Выбрать на построенной окружности три произвольные точки. Назовем их A, B и C.

3. Соединить эти три точки отрезками AB, BC и CA. В результате получится треугольник ABC.

По построению, все вершины этого треугольника (A, B, и C) принадлежат окружности. Такой треугольник называется вписанным в окружность, а сама окружность — описанной около треугольника.

Наглядный пример такого построения приведен на рисунке ниже.

Ответ:

21.19. Изобразите окружность и треугольник, стороны которого касаются окружности.

Для решения задачи необходимо изобразить треугольник, который является описанным около окружности. Это означает, что все три стороны треугольника являются касательными к этой окружности. Сама окружность, соответственно, называется вписанной в треугольник.

Построить такую фигуру можно, например, одним из следующих способов:

1. Начертить произвольный треугольник, найти точку пересечения его биссектрис (это будет центр вписанной окружности), а затем провести окружность, касающуюся сторон.

2. Начертить окружность, а затем провести к ней три касательные так, чтобы они, пересекаясь, образовали треугольник. Этот способ проще для произвольного изображения.

Ниже представлен пример такой фигуры. Для наглядности и простоты построения был выбран прямоугольный треугольник, стороны которого касаются вписанной в него окружности.

Ответ: Рисунок, на котором изображен треугольник, стороны которого касаются окружности, представлен выше.