Страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на рисунке 22.8 (стороны клеток равны 1).

a) б)
в)

Рис. 22.8

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь. Поскольку стороны клеток равны 1, мы можем ввести декартову систему координат для нахождения длин сторон и площади каждого треугольника.

a) Введем систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты: $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(3, 3)$.Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$c = AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$a = BC = \sqrt{(5-3)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем площадь треугольника. Основание $AB$ равно 4, высота, проведенная к нему из вершины $C$, равна $3-1=2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$.
Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{8 \cdot 4}{16} = \frac{32}{16} = 2$.
Ответ: $2$.

б) Введем систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты: $A(0, 0)$, $C(0, 3)$, $B(2, 2)$.Найдем длины сторон треугольника:
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$a = BC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$.
Найдем площадь треугольника. Основание $AC$ лежит на оси OY и равно 3. Высота, проведенная к нему из вершины $B$, равна абсциссе точки $B$, то есть 2.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{\sqrt{5} \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}}{4 \cdot 3} = \frac{6\sqrt{10}}{12} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) Введем систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты: $C(1, 3)$, $B(6, 3)$, $A(3, 1)$.Найдем длины сторон треугольника:
$a = BC = \sqrt{(6-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{5^2} = 5$.
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$c = AB = \sqrt{(6-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.
Найдем площадь треугольника. Основание $BC$ параллельно оси OX и равно 5. Высота, проведенная к нему из вершины $A$, равна разности ординат: $3-1=2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}}{4 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{26}}{20} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{2}$.

22.6. Жильцы трех домов A, B и C, расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 22.9), хотят выкопать общий колодец с таким расчетом, чтобы он одинаково был удален от всех трех домов. В каком месте надо копать?

Рис. 22.9

Для решения этой задачи нужно найти точку, которая находится на одинаковом расстоянии от трех домов. Дома расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. В геометрии точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, называется центром описанной окружности.

Центр описанной окружности — это точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Для прямоугольного треугольника существует особое свойство: центр его описанной окружности всегда находится в середине гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла).

Рассмотрим данный случай. Пусть дома расположены в вершинах $A$, $B$ и $C$ равнобедренного прямоугольного треугольника. Предположим, что прямой угол находится в вершине $A$, а гипотенузой является сторона $BC$. Нам нужно найти точку $K$ (место для колодца) такую, что $KA = KB = KC$.

Согласно теореме о медиане прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы. Если мы разместим колодец $K$ в середине гипотенузы $BC$, то медиана $AK$ будет равна $AK = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $K$ — середина отрезка $BC$, то расстояния от $K$ до вершин $B$ и $C$ также равны половине длины этого отрезка: $KB = KC = \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, мы получаем, что $KA = KB = KC$. Это и есть искомое место, так как оно равноудалено от всех трех домов. Тот факт, что треугольник равнобедренный, не меняет решения, так как свойство центра описанной окружности справедливо для любого прямоугольного треугольника.

Ответ: Колодец надо копать в середине гипотенузы — самой длинной стороны треугольника, образованного тремя домами.

22.7. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, принадлежит высоте, опущенной из вершины, противолежащей основанию этого треугольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Пусть $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$, так что $BH \perp AC$.

Доказательство основано на двух ключевых определениях и свойствах:

1. По определению, центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Это означает, что центр $O$ должен лежать на биссектрисе каждого угла, в том числе и на биссектрисе угла $\angle ABC$.

2. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, высота $BH$ в треугольнике $\triangle ABC$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Из этих двух пунктов следует, что и центр вписанной окружности $O$, и высота $BH$ лежат на одной и той же прямой — биссектрисе угла $\angle ABC$. Таким образом, точка $O$ принадлежит высоте $BH$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

22.8. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, принадлежит биссектрисе угла, противолежащего основанию этого треугольника.

Чтобы доказать, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на биссектрисе угла, противолежащего основанию, рассмотрим равнобедренный треугольник и его описанную окружность.

Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$, так что боковые стороны равны: $AB = BC$.
Пусть $O$ — центр окружности, описанной около $\triangle ABC$.

По определению, центр описанной окружности — это точка, равноудаленная от всех вершин треугольника. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу $R$ этой окружности:
$OA = OB = OC = R$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCB$.
У них:
1. $AB = BC$ (по условию, так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).
2. $OA = OC$ (как радиусы одной и той же окружности).
3. $OB$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle OAB = \triangle OCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол $\angle ABO$ равен углу $\angle CBO$:
$\angle ABO = \angle CBO$

Это означает, что луч $BO$ делит угол $\angle ABC$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой.
Поскольку точка $O$ (центр окружности) лежит на луче $BO$, то она принадлежит биссектрисе угла $\angle ABC$, который является углом, противолежащим основанию $AC$.

Альтернативное доказательство:
Центр описанной окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ с основанием $AC$ биссектриса, проведенная из вершины $B$ к основанию, является также медианой и высотой. Таким образом, эта биссектриса перпендикулярна стороне $AC$ и проходит через ее середину, то есть она лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ должен лежать на всех серединных перпендикулярах, он обязан лежать и на биссектрисе угла $\angle B$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

22.9. Какой вид имеет треугольник, если центр описанной около него окружности принадлежит одной из его медиан?

Пусть дан треугольник $ABC$. Проведем в нем медиану $AM$ к стороне $BC$. Пусть $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности. По условию задачи, точка $O$ принадлежит медиане $AM$.

Центр описанной окружности $O$ является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех вершин треугольника: $OA = OB = OC = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим отрезки $OB$ и $OC$. Так как $OB = OC$, треугольник $BOC$ является равнобедренным. Точка $O$ равноудалена от точек $B$ и $C$, следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Серединный перпендикуляр к стороне $BC$ — это прямая, которая проходит через середину $M$ стороны $BC$ и перпендикулярна ей.

Таким образом, мы имеем два утверждения:

1. Точка $O$ лежит на медиане $AM$ (по условию).
2. Точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$ (по свойству центра описанной окружности).

И медиана $AM$, и серединный перпендикуляр к $BC$ проходят через точку $M$ (середину $BC$). Следовательно, возможны два случая.

Случай 1: Медиана $AM$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$ совпадают.

Если прямая, содержащая медиану $AM$, совпадает с серединным перпендикуляром к стороне $BC$, это означает, что медиана $AM$ является также и высотой треугольника $ABC$ (так как $AM \perp BC$).

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$:

• $BM = CM$, так как $AM$ — медиана.
• $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$, так как $AM$ — высота.
• $AM$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $AB = AC$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Случай 2: Медиана $AM$ и серединный перпендикуляр к стороне $BC$ — это две различные прямые.

Две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке. Мы знаем, что и медиана $AM$, и серединный перпендикуляр к $BC$ проходят через точку $M$. Также мы установили, что точка $O$ должна лежать на обеих этих прямых. Если прямые различны, их единственной общей точкой является $M$. Следовательно, точка $O$ должна совпадать с точкой $M$.

$O = M$

Это означает, что центр описанной окружности $O$ является серединой стороны $BC$. Такое возможно только в том случае, если сторона $BC$ является диаметром описанной окружности.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Угол $\angle BAC$ опирается на диаметр $BC$. Следовательно, $\angle BAC = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным.

Итак, если центр описанной окружности лежит на одной из медиан, то треугольник является либо равнобедренным (причем медиана проведена к основанию), либо прямоугольным (причем медиана проведена к гипотенузе).

Ответ: Треугольник является равнобедренным или прямоугольным.

22.10. Какой вид имеет треугольник, если центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот?

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим центр вписанной в него окружности как $I$. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению высоты, $BH \perp AC$.

По условию задачи, центр вписанной окружности $I$ принадлежит высоте $BH$.

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе каждого угла треугольника, в том числе и на биссектрисе угла $\angle B$.

Таким образом, мы имеем, что точка $I$ лежит как на высоте $BH$, так и на биссектрисе, проведенной из вершины $B$. Поскольку и высота, и биссектриса являются отрезками прямых, проходящих через две общие точки (вершину $B$ и инцентр $I$), то эти отрезки должны совпадать. Это означает, что в треугольнике $ABC$ высота $BH$ является одновременно и биссектрисой угла $\angle B$.

Докажем, что треугольник, в котором высота совпадает с биссектрисой, является равнобедренным. Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$, на которые высота $BH$ делит треугольник $ABC$.

В этих треугольниках:
1. Сторона $BH$ — общая.
2. $\angle AHB = \angle CHB = 90^\circ$, так как $BH$ — высота.
3. $\angle ABH = \angle CBH$, так как $BH$ — биссектриса.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$ равны по катету и прилежащему острому углу (общий катет $BH$ и равные углы $\angle ABH$ и $\angle CBH$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.

Таким образом, если центр вписанной в треугольник окружности лежит на одной из его высот, то этот треугольник является равнобедренным.

Ответ: Треугольник является равнобедренным.