Страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.9. По данному рисунку 23.10 объясните, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.10

Данная задача заключается в построении треугольника $ABC$ по двум сторонам $AB=c$, $AC=b$ и высоте $CH=h$, опущенной на прямую, содержащую сторону $AB$. Рисунок 23.10 иллюстрирует анализ задачи, на основе которого можно составить план построения.

Анализ задачи по рисунку

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Высота $CH$ перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $AB$. Это означает, что вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h$. Следовательно, геометрическим местом точек, где может располагаться вершина $C$, является прямая, параллельная $AB$ и находящаяся на расстоянии $h$ от нее. Сторона $AC$ имеет длину $b$, значит, точка $A$ лежит на окружности с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Сторона $AB$ имеет длину $c$, значит, точка $B$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $c$. Эти соотношения позволяют выполнить построение.

Алгоритм построения

Шаг 1: Построение высоты и прямой для вершины C.

1. Проведем произвольную прямую $l$. На ней будут лежать вершины $A$ и $B$.
2. Выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$ и проведем через нее прямую, перпендикулярную $l$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HC$ длиной, равной $h$.
4. Через точку $C$ проведем прямую $p$, параллельную прямой $l$. Вершина $C$ искомого треугольника будет лежать на этой прямой $p$.

Шаг 2: Нахождение вершины A.

Вершина $A$ должна лежать на прямой $l$ и быть удалена от точки $C$ на расстояние $b$.
1. Из точки $C$ как из центра проводим окружность радиусом $b$.
2. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ являются возможными положениями вершины $A$.

• Если $b < h$, окружность и прямая не пересекаются, и решения нет. Это логично, так как в прямоугольном треугольнике $AHC$ катет $CH$ не может быть длиннее гипотенузы $AC$.
• Если $b = h$, окружность касается прямой $l$ в точке $H$. Тогда вершина $A$ совпадает с $H$, и треугольник $ABC$ будет прямоугольным.
• Если $b > h$, окружность пересекает прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно $H$. Любую из них можно выбрать в качестве вершины $A$. На рисунке выбрана одна из этих точек.

Шаг 3: Нахождение вершины B.

Вершина $B$ должна лежать на прямой $l$ и быть удалена от точки $A$ на расстояние $c$.
1. Из найденной точки $A$ как из центра проводим окружность радиусом $c$.
2. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. На рисунке они показаны как $B_1$ и $B_2$.

Шаг 4: Завершение построения.

Соединяем вершины. Если мы выберем точку $B_1$ в качестве вершины $B$, то получим треугольник $AB_1C$. Если выберем $B_2$, то получим треугольник $AB_2C$. Оба этих треугольника удовлетворяют условиям задачи ($AC=b$, $AB=c$, высота из $C$ равна $h$). Таким образом, для каждого возможного положения вершины $A$ существует два решения, как показано на рисунке.

Ответ:

Для построения треугольника необходимо выполнить следующие шаги:1. Построить две параллельные прямые $l$ и $p$ на расстоянии $h$ друг от друга.2. На прямой $p$ выбрать произвольную точку $C$.3. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначить как $A$. Это возможно только при $b \ge h$.4. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначить как $B$.5. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

23.10. Используя рисунок 23.11, постройте треугольник ABC по двум данным сторонам $AC = a$, $BC = b$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.11

Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $AC = a$, $BC = b$ и высоте $CH = h$, проведенной к стороне $AB$, воспользуемся методом геометрических мест точек.

Анализ

1. Высота $CH$ перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $AB$. Это означает, что вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h$. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от данной прямой на расстояние $h$, — это две прямые, параллельные данной. Мы можем построить одну из них, назовем ее $m$, и на ней будет лежать вершина $C$.

2. Вершина $A$ находится на расстоянии $a$ от вершины $C$. ГМТ, равноудаленных от точки $C$ на расстояние $a$, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.

3. Вершина $B$ находится на расстоянии $b$ от вершины $C$. ГМТ, равноудаленных от точки $C$ на расстояние $b$, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$.

Таким образом, для нахождения вершин $A$ и $B$ нужно найти точки пересечения соответствующих окружностей с прямой, на которой лежит основание треугольника.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$. На ней будет располагаться сторона $AB$ и ее основание $H$.

2. Построим прямую $m$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$, проведем через нее перпендикуляр к $l$ и отложим на нем отрезок $CH$ длиной $h$. Затем через точку $C$ проведем прямую $m \parallel l$.

3. На прямой $m$ теперь зафиксирована вершина $C$.

4. Построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом $a$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ даст нам вершину $A$.

5. Построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ даст нам вершину $B$.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

• Сторона $AC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому ее длина равна $a$.
• Сторона $BC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому ее длина равна $b$.
• Отрезок $CH$ по построению перпендикулярен прямой $l$, на которой лежат точки $A$ и $B$. Следовательно, $CH$ — высота треугольника $ABC$. Длина $CH$ по построению равна $h$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если окружности с радиусами $a$ и $b$ пересекают прямую $l$. Это возможно, когда радиус окружности не меньше расстояния от ее центра ($C$) до прямой ($l$), которое равно $h$.Следовательно, необходимыми и достаточными условиями для существования решения являются неравенства:$a \ge h$ и $b \ge h$.В прямоугольных треугольниках $AHC$ и $BHC$ стороны $AC=a$ и $BC=b$ являются гипотенузами, а высота $CH=h$ — катетом, поэтому гипотенуза не может быть короче катета.

Если $a > h$ и $b > h$, то каждая из дуг пересечет прямую $l$ в двух точках. Например, дуга радиуса $a$ пересечет прямую $l$ в точках $A_1$ и $A_2$, симметричных относительно $H$. Аналогично для дуги радиуса $b$. В зависимости от выбора положения точек $A$ и $B$ относительно точки $H$ (по одну сторону или по разные), можно построить разные треугольники (остроугольные или тупоугольные), удовлетворяющие условию. Обычно строят один из возможных вариантов, как показано на рисунке.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения вершины $C$ на прямой, параллельной основанию и отстоящей от него на расстояние $h$, с последующим нахождением вершин $A$ и $B$ как точек пересечения окружностей с радиусами $a$ и $b$ (с центром в $C$) и прямой, содержащей основание.

23.11. Используя рисунок 23.12, постройте треугольник ABC по данным стороне $AB = c$, медиане $CD = m$ и высоте $CH = h$.

$c$

$m$

$h$

$c/2$

Рис. 23.12

Для построения треугольника ABC по стороне $AB = c$, медиане $CD = m$ и высоте $CH = h$ воспользуемся методом геометрических мест.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. 1. Сторона AB имеет заданную длину c. Мы можем построить этот отрезок на произвольной прямой. 2. CD — медиана, проведенная к стороне AB. Это означает, что точка D является серединой отрезка AB. Длина отрезка CD равна m. 3. CH — высота, опущенная на прямую, содержащую сторону AB. Это означает, что $CH \perp AB$ и длина отрезка CH равна h. Из этих условий можно определить положение вершины C. Вершина C должна удовлетворять двум условиям: - Она должна быть удалена от прямой AB на расстояние h. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это две прямые, параллельные AB и расположенные на расстоянии h от нее. - Она должна быть удалена от точки D (середины AB) на расстояние m. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке D и радиусом m. Следовательно, искомая вершина C является точкой пересечения этих двух геометрических мест: параллельной прямой и окружности.

Построение

1. Проведем произвольную прямую a. Выберем на ней точку A и с помощью циркуля отложим отрезок $AB = c$.
2. Найдем середину отрезка AB. Для этого построим две пересекающиеся дуги окружностей с центрами в точках A и B и одинаковым радиусом (большим, чем $c/2$). Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, является серединным перпендикуляром к AB. Точку пересечения этого перпендикуляра с отрезком AB обозначим D.
3. Построим прямую, параллельную прямой a, на расстоянии h от нее. Для этого в точке D восстановим перпендикуляр к прямой a. На этом перпендикуляре отложим отрезок длиной h. Через конец этого отрезка проведем прямую b, параллельную прямой a.
4. С центром в точке D построим окружность радиусом m.
5. Точка пересечения прямой b и окружности является искомой вершиной C. В случае, если $m > h$, будет две точки пересечения, симметричные относительно перпендикуляра к AB, проходящего через D. Мы можем выбрать любую из них.
6. Соединим отрезками точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике ABC сторона $AB = c$ по построению. Точка D — середина стороны AB, следовательно, CD — медиана. Длина CD равна радиусу окружности с центром в D, то есть $CD = m$. Вершина C лежит на прямой b, которая параллельна прямой AB и находится на расстоянии h от нее. Следовательно, высота CH, опущенная из вершины C на прямую AB, равна h. Таким образом, построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружность с центром D и радиусом m имеет хотя бы одну общую точку с прямой b. Расстояние от точки D до прямой b равно h. Следовательно, для существования решения необходимо и достаточно, чтобы радиус окружности был не меньше расстояния от ее центра до прямой, то есть должно выполняться условие $m \ge h$.
- Если $m > h$, прямая и окружность имеют две точки пересечения. Это приводит к построению двух треугольников, симметричных относительно серединного перпендикуляра к стороне AB. Эти треугольники равны, поэтому, по существу, задача имеет одно решение.
- Если $m = h$, прямая касается окружности в одной точке. В этом случае точка H (основание высоты) совпадает с точкой D (середина основания). Треугольник ABC является равнобедренным ($AC = BC$). Задача имеет одно решение.
- Если $m < h$, общих точек у прямой и окружности нет, и построение невозможно. Задача не имеет решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан выше. Задача имеет решение при условии $m \ge h$.