Номер 23.9, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.9. По данному рисунку 23.10 объясните, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.10

Данная задача заключается в построении треугольника $ABC$ по двум сторонам $AB=c$, $AC=b$ и высоте $CH=h$, опущенной на прямую, содержащую сторону $AB$. Рисунок 23.10 иллюстрирует анализ задачи, на основе которого можно составить план построения.

Анализ задачи по рисунку

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Высота $CH$ перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $AB$. Это означает, что вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h$. Следовательно, геометрическим местом точек, где может располагаться вершина $C$, является прямая, параллельная $AB$ и находящаяся на расстоянии $h$ от нее. Сторона $AC$ имеет длину $b$, значит, точка $A$ лежит на окружности с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Сторона $AB$ имеет длину $c$, значит, точка $B$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $c$. Эти соотношения позволяют выполнить построение.

Алгоритм построения

Шаг 1: Построение высоты и прямой для вершины C.

1. Проведем произвольную прямую $l$. На ней будут лежать вершины $A$ и $B$.
2. Выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$ и проведем через нее прямую, перпендикулярную $l$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим от точки $H$ отрезок $HC$ длиной, равной $h$.
4. Через точку $C$ проведем прямую $p$, параллельную прямой $l$. Вершина $C$ искомого треугольника будет лежать на этой прямой $p$.

Шаг 2: Нахождение вершины A.

Вершина $A$ должна лежать на прямой $l$ и быть удалена от точки $C$ на расстояние $b$.
1. Из точки $C$ как из центра проводим окружность радиусом $b$.
2. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ являются возможными положениями вершины $A$.

• Если $b < h$, окружность и прямая не пересекаются, и решения нет. Это логично, так как в прямоугольном треугольнике $AHC$ катет $CH$ не может быть длиннее гипотенузы $AC$.
• Если $b = h$, окружность касается прямой $l$ в точке $H$. Тогда вершина $A$ совпадает с $H$, и треугольник $ABC$ будет прямоугольным.
• Если $b > h$, окружность пересекает прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно $H$. Любую из них можно выбрать в качестве вершины $A$. На рисунке выбрана одна из этих точек.

Шаг 3: Нахождение вершины B.

Вершина $B$ должна лежать на прямой $l$ и быть удалена от точки $A$ на расстояние $c$.
1. Из найденной точки $A$ как из центра проводим окружность радиусом $c$.
2. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. На рисунке они показаны как $B_1$ и $B_2$.

Шаг 4: Завершение построения.

Соединяем вершины. Если мы выберем точку $B_1$ в качестве вершины $B$, то получим треугольник $AB_1C$. Если выберем $B_2$, то получим треугольник $AB_2C$. Оба этих треугольника удовлетворяют условиям задачи ($AC=b$, $AB=c$, высота из $C$ равна $h$). Таким образом, для каждого возможного положения вершины $A$ существует два решения, как показано на рисунке.

Ответ:

Для построения треугольника необходимо выполнить следующие шаги:1. Построить две параллельные прямые $l$ и $p$ на расстоянии $h$ друг от друга.2. На прямой $p$ выбрать произвольную точку $C$.3. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначить как $A$. Это возможно только при $b \ge h$.4. Построить окружность с центром в точке $A$ и радиусом $c$. Точку пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначить как $B$.5. Соединить точки $A$, $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.