Номер 23.8, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.8. По данному рисунку 23.9 объясните, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AD = m$.

$b$

$c$

$m$

Рис. 23.9

Для того чтобы построить треугольник $ABC$ по двум заданным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AD = m$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на идее достроения исходного треугольника до параллелограмма, как показано на рисунке.

Анализ. Сначала рассмотрим вспомогательное построение, которое является ключом к решению. Продолжим медиану $AD$ за точку $D$ на ее собственную длину до точки $E$. То есть, построим отрезок $AE$ так, что $D$ будет его серединой и $AD = DE = m$. В результате получим отрезок $AE$ длиной $2m$. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABEC$. Его диагонали $AE$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. По определению медианы, $D$ является серединой стороны $BC$. По нашему построению, $D$ также является серединой диагонали $AE$. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABEC$ — это параллелограмм. Из свойств параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны. Значит, $BE = AC = b$ и $CE = AB = c$. Это приводит нас к возможности построить треугольник $ABE$, так как мы знаем длины всех трех его сторон: $AB=c$, $AE=2m$ и $BE=b$. Построение треугольника по трем сторонам является стандартной задачей.

Построение. Таким образом, алгоритм построения искомого треугольника $ABC$ будет следующим.
1. Сначала строим отрезок $AE$ длиной, равной удвоенной длине медианы, то есть $2m$.
2. Затем из одного конца этого отрезка, точки $A$, проводим дугу окружности радиусом $c$ (длина стороны $AB$).
3. Из другого конца, точки $E$, проводим дугу окружности радиусом $b$ (длина стороны $AC$, которая равна стороне $BE$ в параллелограмме).
4. Точка пересечения этих дуг даст нам третью вершину вспомогательного треугольника — точку $B$. Соединив точки $A$, $B$ и $E$, получим треугольник $ABE$.
5. Теперь, когда у нас есть вершины $A$ и $B$ искомого треугольника $ABC$, нам осталось найти вершину $C$. Мы знаем, что точка $D$ (середина медианы $BC$) является также серединой построенного нами отрезка $AE$. Находим точку $D$, разделив отрезок $AE$ пополам.
6. Далее проводим прямую через точки $B$ и $D$. На этой прямой от точки $D$ откладываем отрезок $DC$, равный по длине отрезку $BD$. Полученная точка $C$ и есть третья вершина искомого треугольника.
7. Соединяем вершины $A$, $B$ и $C$.

Доказательство. В итоге мы получаем треугольник $ABC$, в котором по построению сторона $AB$ равна $c$, медиана $AD$ равна $m$ (половина отрезка $AE$), а сторона $AC$ равна $b$ (так как она равна стороне $BE$ в параллелограмме $ABEC$, диагонали которого по построению делятся точкой пересечения пополам). Задача решена.

Ответ: Построение треугольника $ABC$ выполняется через построение вспомогательного треугольника $ABE$ со сторонами $AB=c$, $AE=2m$ и $BE=b$. После построения этого треугольника находят середину $D$ стороны $AE$. Затем на луче $BD$ откладывают отрезок $DC=BD$, получая вершину $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.