Номер 23.10, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.10. Используя рисунок 23.11, постройте треугольник ABC по двум данным сторонам $AC = a$, $BC = b$ и высоте $CH = h$.

Рис. 23.11

Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $AC = a$, $BC = b$ и высоте $CH = h$, проведенной к стороне $AB$, воспользуемся методом геометрических мест точек.

Анализ

1. Высота $CH$ перпендикулярна прямой, на которой лежит сторона $AB$. Это означает, что вершина $C$ удалена от прямой $AB$ на расстояние $h$. Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от данной прямой на расстояние $h$, — это две прямые, параллельные данной. Мы можем построить одну из них, назовем ее $m$, и на ней будет лежать вершина $C$.

2. Вершина $A$ находится на расстоянии $a$ от вершины $C$. ГМТ, равноудаленных от точки $C$ на расстояние $a$, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.

3. Вершина $B$ находится на расстоянии $b$ от вершины $C$. ГМТ, равноудаленных от точки $C$ на расстояние $b$, — это окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$.

Таким образом, для нахождения вершин $A$ и $B$ нужно найти точки пересечения соответствующих окружностей с прямой, на которой лежит основание треугольника.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $l$. На ней будет располагаться сторона $AB$ и ее основание $H$.

2. Построим прямую $m$, параллельную прямой $l$ и находящуюся на расстоянии $h$ от нее. Для этого выберем на прямой $l$ произвольную точку $H$, проведем через нее перпендикуляр к $l$ и отложим на нем отрезок $CH$ длиной $h$. Затем через точку $C$ проведем прямую $m \parallel l$.

3. На прямой $m$ теперь зафиксирована вершина $C$.

4. Построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом $a$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ даст нам вершину $A$.

5. Построим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точка пересечения этой дуги с прямой $l$ даст нам вершину $B$.

6. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$:

• Сторона $AC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому ее длина равна $a$.
• Сторона $BC$ является радиусом окружности с центром $C$, поэтому ее длина равна $b$.
• Отрезок $CH$ по построению перпендикулярен прямой $l$, на которой лежат точки $A$ и $B$. Следовательно, $CH$ — высота треугольника $ABC$. Длина $CH$ по построению равна $h$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение только в том случае, если окружности с радиусами $a$ и $b$ пересекают прямую $l$. Это возможно, когда радиус окружности не меньше расстояния от ее центра ($C$) до прямой ($l$), которое равно $h$.Следовательно, необходимыми и достаточными условиями для существования решения являются неравенства:$a \ge h$ и $b \ge h$.В прямоугольных треугольниках $AHC$ и $BHC$ стороны $AC=a$ и $BC=b$ являются гипотенузами, а высота $CH=h$ — катетом, поэтому гипотенуза не может быть короче катета.

Если $a > h$ и $b > h$, то каждая из дуг пересечет прямую $l$ в двух точках. Например, дуга радиуса $a$ пересечет прямую $l$ в точках $A_1$ и $A_2$, симметричных относительно $H$. Аналогично для дуги радиуса $b$. В зависимости от выбора положения точек $A$ и $B$ относительно точки $H$ (по одну сторону или по разные), можно построить разные треугольники (остроугольные или тупоугольные), удовлетворяющие условию. Обычно строят один из возможных вариантов, как показано на рисунке.

Ответ: Построение выполняется путем нахождения вершины $C$ на прямой, параллельной основанию и отстоящей от него на расстояние $h$, с последующим нахождением вершин $A$ и $B$ как точек пересечения окружностей с радиусами $a$ и $b$ (с центром в $C$) и прямой, содержащей основание.