Номер 23.13, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьте сообщение

23.13. Популярная задача на построение с помощью циркуля и линейки в V в. до н. э. "Задача об удвоении куба", которая называется Делосской.

Легенда о происхождении и суть задачи

Задача об удвоении куба, также известная как Делосская задача, — одна из трех знаменитых классических задач на построение древнегреческой математики, наряду с трисекцией угла и квадратурой круга. Она заключается в построении ребра куба, объем которого вдвое больше объема заданного куба, с использованием только циркуля и линейки без делений.

Своим вторым названием задача обязана древней легенде, которую пересказал Эратосфен. Согласно преданию, в 430 году до н. э. в Афинах разразилась чума. В поисках спасения афиняне обратились к оракулу Аполлона на острове Делос. Оракул повелел им удвоить жертвенник в храме, который имел форму куба. Афиняне, недолго думая, построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза длиннее ребра старого. Однако это увеличило объем не в два, а в восемь раз ($2^3=8$), и чума не отступила. Когда афиняне снова обратились к оракулу, им разъяснили, что требовалось удвоить именно объем жертвенника, а не длину его стороны. Так возникла математическая проблема, над которой бились лучшие умы античности.

Ответ:

Математическая формулировка

С точки зрения математики, задача формулируется следующим образом. Пусть дан куб с ребром длины $a$. Его объем равен $V_1 = a^3$. Необходимо построить ребро $x$ нового куба, объем которого $V_2$ будет вдвое больше объема исходного куба: $V_2 = 2V_1 = 2a^3$.

Таким образом, мы имеем уравнение: $x^3 = 2a^3$.

Разделив обе части на $a^3$, получим $(\frac{x}{a})^3 = 2$, откуда следует, что $\frac{x}{a} = \sqrt[3]{2}$.

Следовательно, искомая длина ребра $x$ равна $x = a\sqrt[3]{2}$.

Задача сводится к построению отрезка длиной $\sqrt[3]{2}$, если за единицу измерения принять длину ребра исходного куба ($a=1$). Все построения должны выполняться исключительно с помощью циркуля и идеальной линейки (без меток).

Ответ:

Доказательство неразрешимости

Неразрешимость задачи об удвоении куба с помощью циркуля и линейки была строго доказана лишь в XIX веке. Доказательство опирается на связь геометрических построений с алгеброй полей.

Основные положения теории построений:

1. Начиная с отрезка единичной длины, с помощью циркуля и линейки можно построить любой отрезок, длина которого является рациональным числом. Множество таких чисел образует поле $\mathbb{Q}$.
2. Циркуль и линейка позволяют выполнять четыре арифметических действия (сложение, вычитание, умножение, деление) и извлечение квадратного корня.
3. Любая длина, которую можно построить, должна принадлежать полю, полученному из $\mathbb{Q}$ путем последовательного присоединения квадратных корней. Степень такого расширения поля над $\mathbb{Q}$ всегда является степенью двойки.

Таким образом, число $\alpha$ является построимым тогда и только тогда, когда степень минимального многочлена для $\alpha$ над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ равна степени двойки. Математически это записывается как $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2^n$ для некоторого целого $n \ge 0$.

Для решения задачи удвоения куба нам необходимо построить число $\sqrt[3]{2}$. Это число является корнем многочлена $p(x) = x^3 - 2$. Этот многочлен неприводим над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$ (например, по критерию Эйзенштейна для простого числа $p=2$). Это означает, что $x^3 - 2$ является минимальным многочленом для $\sqrt[3]{2}$.

Степень этого многочлена равна 3. Следовательно, степень расширения поля $[\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]$ равна 3.

Поскольку 3 не является степенью двойки ($3 \ne 2^n$), число $\sqrt[3]{2}$ не является построимым. Это означает, что задача об удвоении куба не имеет решения в рамках классических построений с помощью циркуля и линейки. Этот результат был установлен французским математиком Пьером Ванцелем в 1837 году.

Ответ:

Альтернативные методы решения

Несмотря на невозможность решения задачи классическими методами, древнегреческие математики нашли множество способов ее решения, выходя за строгие рамки "циркуля и линейки".

• Метод Гиппократа Хиосского (V в. до н. э.): Он свёл задачу удвоения куба к нахождению двух средних пропорциональных между двумя отрезками $a$ и $2a$. То есть, к нахождению таких $x$ и $y$, что выполняется пропорция $a : x = x : y = y : 2a$. Из этой пропорции следуют соотношения $x^2 = ay$ и $y^2 = 2ax$. Подставляя $y = x^2/a$ из первого уравнения во второе, получаем $(x^2/a)^2 = 2ax$, что приводит к уравнению $x^3 = 2a^3$. Таким образом, найденный отрезок $x$ является ребром удвоенного куба.
• Метод Менехма (IV в. до н. э.): Ученик Платона Менехм нашел решение, используя конические сечения. Он показал, что искомые отрезки $x$ и $y$ из метода Гиппократа можно найти как координаты точки пересечения двух парабол, заданных уравнениями $x^2 = ay$ и $y^2 = 2ax$.
• Другие методы: Были предложены и другие решения, использующие более сложные инструменты или кривые. Архит Тарентский предложил решение с помощью пространственного построения, находя точку пересечения трех поверхностей вращения (конуса, цилиндра и тора). Никомед изобрел специальную кривую — конхоиду, с помощью которой также решал эту задачу. Диокл для этой же цели использовал другую кривую — циссоиду. Решение также возможно при использовании линейки с двумя метками (метод "невсиса").

Все эти методы демонстрируют глубокое понимание геометрии древними учеными, которые, столкнувшись с ограничениями классических инструментов, искали и находили новые пути решения проблемы.

Ответ: