Номер 23.14, страница 134 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.14. a) Что называется параболой? Оптическое свойство параболы.

б) Что называется эллипсом? Оптическое свойство эллипса.

в) Что называется гиперболой? Оптическое свойство гиперболы.

а) Что называется параболой? Оптическое свойство параболы.

Парабола — это геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом ($F$), и от заданной прямой, называемой директрисой ($d$). Для любой точки $M$, лежащей на параболе, выполняется равенство $MF = \rho(M, d)$, где $\rho(M, d)$ — расстояние от точки $M$ до прямой $d$.

Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат и осью симметрии, совпадающей с осью Ox, имеет вид: $y^2 = 2px$. В этом случае фокус $F$ имеет координаты $(p/2, 0)$, а уравнение директрисы — $x = -p/2$. Параметр $p$ называется фокальным параметром.

Оптическое свойство параболы (или фокальное свойство) заключается в её способности фокусировать лучи. Пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, после отражения от неё собирается в фокусе. И наоборот: если источник света поместить в фокус параболического зеркала, то отражённые лучи образуют пучок, параллельный оси симметрии. Это свойство используется в конструкциях прожекторов, автомобильных фар, спутниковых антенн и телескопов-рефлекторов.

Ответ: Парабола — это множество точек плоскости, равноудалённых от фокуса и директрисы. Оптическое свойство: лучи, параллельные оси параболы, после отражения собираются в её фокусе, и наоборот.

б) Что называется эллипсом? Оптическое свойство эллипса.

Эллипс — это геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами ($F_1$ и $F_2$), есть величина постоянная ($2a$), причём эта постоянная больше, чем расстояние между фокусами ($2c$). Для любой точки $M$ на эллипсе выполняется равенство $MF_1 + MF_2 = 2a$.

Каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Здесь $a$ — большая полуось, $b$ — малая полуось. Они связаны с фокусным расстоянием $c$ (расстояние от центра до фокуса) соотношением $a^2 = b^2 + c^2$.

Оптическое свойство эллипса состоит в том, что лучи света, исходящие из одного фокуса ($F_1$), после отражения от эллиптического зеркала собираются (фокусируются) в другом его фокусе ($F_2$). Это явление наблюдается в "шепчущих галереях" и используется в медицине (литотрипсия).

Ответ: Эллипс — это множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фокусов постоянна. Оптическое свойство: луч, вышедший из одного фокуса, после отражения от эллипса проходит через другой фокус.

в) Что называется гиперболой? Оптическое свойство гиперболы.

Гипербола — это геометрическое место точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух заданных точек, называемых фокусами ($F_1$ и $F_2$), есть величина постоянная ($2a$), причём эта постоянная меньше, чем расстояние между фокусами ($2c$). Для любой точки $M$ на гиперболе выполняется равенство $|MF_1 - MF_2| = 2a$.

Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$. Здесь $a$ — действительная полуось, $b$ — мнимая полуось. Фокусное расстояние $c$ связано с полуосями соотношением $c^2 = a^2 + b^2$.

Оптическое свойство гиперболы заключается в следующем: луч света, исходящий из одного фокуса ($F_1$), после отражения от ближайшей к нему ветви гиперболического зеркала распространяется так, как будто он был выпущен из второго (мнимого) фокуса ($F_2$). И наоборот: луч, направленный в один фокус ($F_2$), отразившись от другой ветви гиперболы, попадёт в первый фокус ($F_1$). Это свойство используется в телескопах системы Кассегрена.

Ответ: Гипербола — это множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фокусов постоянен. Оптическое свойство: луч, выпущенный из одного фокуса, после отражения от гиперболы движется так, будто он исходит из другого фокуса.