Номер 23.11, страница 133 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.11. Используя рисунок 23.12, постройте треугольник ABC по данным стороне $AB = c$, медиане $CD = m$ и высоте $CH = h$.

$c$

$m$

$h$

$c/2$

Рис. 23.12

Для построения треугольника ABC по стороне $AB = c$, медиане $CD = m$ и высоте $CH = h$ воспользуемся методом геометрических мест.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник ABC построен. 1. Сторона AB имеет заданную длину c. Мы можем построить этот отрезок на произвольной прямой. 2. CD — медиана, проведенная к стороне AB. Это означает, что точка D является серединой отрезка AB. Длина отрезка CD равна m. 3. CH — высота, опущенная на прямую, содержащую сторону AB. Это означает, что $CH \perp AB$ и длина отрезка CH равна h. Из этих условий можно определить положение вершины C. Вершина C должна удовлетворять двум условиям: - Она должна быть удалена от прямой AB на расстояние h. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это две прямые, параллельные AB и расположенные на расстоянии h от нее. - Она должна быть удалена от точки D (середины AB) на расстояние m. Геометрическое место точек, удовлетворяющих этому условию, — это окружность с центром в точке D и радиусом m. Следовательно, искомая вершина C является точкой пересечения этих двух геометрических мест: параллельной прямой и окружности.

Построение

1. Проведем произвольную прямую a. Выберем на ней точку A и с помощью циркуля отложим отрезок $AB = c$.
2. Найдем середину отрезка AB. Для этого построим две пересекающиеся дуги окружностей с центрами в точках A и B и одинаковым радиусом (большим, чем $c/2$). Прямая, проходящая через точки пересечения дуг, является серединным перпендикуляром к AB. Точку пересечения этого перпендикуляра с отрезком AB обозначим D.
3. Построим прямую, параллельную прямой a, на расстоянии h от нее. Для этого в точке D восстановим перпендикуляр к прямой a. На этом перпендикуляре отложим отрезок длиной h. Через конец этого отрезка проведем прямую b, параллельную прямой a.
4. С центром в точке D построим окружность радиусом m.
5. Точка пересечения прямой b и окружности является искомой вершиной C. В случае, если $m > h$, будет две точки пересечения, симметричные относительно перпендикуляра к AB, проходящего через D. Мы можем выбрать любую из них.
6. Соединим отрезками точки A, B и C. Треугольник ABC — искомый.

Доказательство

В построенном треугольнике ABC сторона $AB = c$ по построению. Точка D — середина стороны AB, следовательно, CD — медиана. Длина CD равна радиусу окружности с центром в D, то есть $CD = m$. Вершина C лежит на прямой b, которая параллельна прямой AB и находится на расстоянии h от нее. Следовательно, высота CH, опущенная из вершины C на прямую AB, равна h. Таким образом, построенный треугольник ABC удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда окружность с центром D и радиусом m имеет хотя бы одну общую точку с прямой b. Расстояние от точки D до прямой b равно h. Следовательно, для существования решения необходимо и достаточно, чтобы радиус окружности был не меньше расстояния от ее центра до прямой, то есть должно выполняться условие $m \ge h$.
- Если $m > h$, прямая и окружность имеют две точки пересечения. Это приводит к построению двух треугольников, симметричных относительно серединного перпендикуляра к стороне AB. Эти треугольники равны, поэтому, по существу, задача имеет одно решение.
- Если $m = h$, прямая касается окружности в одной точке. В этом случае точка H (основание высоты) совпадает с точкой D (середина основания). Треугольник ABC является равнобедренным ($AC = BC$). Задача имеет одно решение.
- Если $m < h$, общих точек у прямой и окружности нет, и построение невозможно. Задача не имеет решений.

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан выше. Задача имеет решение при условии $m \ge h$.