Номер 23.5, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.5. Постройте треугольник $\triangle ABC$ по данной стороне и двум данным прилежащим к ней углам.

Эта задача заключается в построении треугольника по заданной стороне и двум прилежащим к ней углам. Это одна из фундаментальных задач на построение, решаемая с помощью циркуля и линейки. Она соответствует второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Дано:

Для построения нам даны три элемента: отрезок, который будет стороной треугольника, и два угла, которые будут прилегать к этой стороне.

• Отрезок $P_1Q_1$ (его длина $a$).
• Угол $\angle 1$ (его величина $\alpha_1$).
• Угол $\angle 2$ (его величина $\alpha_2$).

Построить:

Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы его сторона $BC$ была равна по длине отрезку $P_1Q_1$, а углы при вершинах $B$ и $C$ были равны соответственно данным углам $\angle 1$ и $\angle 2$. То есть, $BC = a$, $\angle ABC = \alpha_1$, $\angle ACB = \alpha_2$.

Построение:

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начертим произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $B$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_1Q_1$. Отложим от точки $B$ на прямой $l$ отрезок $BC$, равный по длине $P_1Q_1$.
3. В точке $B$ построим угол, равный данному углу $\angle 1$. Для этого из вершины данного угла $\angle 1$ проведем дугу окружности, пересекающую его стороны. Затем из точки $B$ проведем дугу того же радиуса. Измерив "раствор" (хорду) исходного угла циркулем, отложим его на дуге с центром в $B$. Проведем луч $BM$ из точки $B$ через полученную точку.
4. Аналогичным образом в точке $C$ построим угол, равный данному углу $\angle 2$, так, чтобы он лежал в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и первый построенный угол. Проведем луч $CN$.
5. Лучи $BM$ и $CN$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $A$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ была построена равной данному отрезку $P_1Q_1$. Угол $\angle ABC$ (или $\angle B$) по построению равен данному углу $\angle 1$. Угол $\angle ACB$ (или $\angle C$) по построению равен данному углу $\angle 2$. Таким образом, все условия задачи выполнены, и треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование:

Для того чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы лучи $BM$ и $CN$ пересеклись. Согласно аксиоме параллельных прямых Евклида, это произойдет тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов при секущей $BC$ меньше $180^\circ$. В нашем случае это означает, что сумма данных углов должна быть меньше развернутого угла: $\alpha_1 + \alpha_2 < 180^\circ$.

• Если $\alpha_1 + \alpha_2 < 180^\circ$, задача имеет единственное решение (все построенные таким образом треугольники будут равны между собой).
• Если $\alpha_1 + \alpha_2 \ge 180^\circ$, то лучи не пересекутся (в одной полуплоскости) или будут параллельны, и построить треугольник невозможно.

Ответ: Для построения треугольника необходимо на произвольной прямой отложить отрезок, равный данной стороне. Затем от концов этого отрезка в одну и ту же полуплоскость отложить углы, равные двум данным углам. Точка пересечения сторон этих углов, не лежащих на исходной прямой, будет третьей вершиной искомого треугольника. Построение возможно только в том случае, если сумма двух данных углов меньше $180^\circ$.