Номер 23.4, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.4. Постройте треугольник $ABC$ по двум данным сторонам и углу между ними.

Задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними является одной из основных задач на построение в курсе геометрии. Для её решения используются циркуль и линейка.

Построение

Пусть даны два отрезка с длинами $p_1$ и $p_2$, и угол $\alpha$. Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы $AB=p_1$, $AC=p_2$ и $\angle BAC = \alpha$.

Алгоритм построения следующий:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$, которая будет одной из вершин треугольника.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AC$, равный по длине отрезку $p_2$.
3. От луча $AC$ в заданной полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $AM$ так, чтобы $\angle CAM = \alpha$.
4. На луче $AM$ отложим отрезок $AB$, равный по длине отрезку $p_1$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
Треугольник $ABC$, полученный в результате этих действий, является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $p_2$, сторона $AB$ по построению равна $p_1$, а угол $\angle BAC$ между сторонами $AB$ и $AC$ по построению равен $\alpha$. Таким образом, построенный треугольник полностью удовлетворяет условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если длины заданных отрезков $p_1$ и $p_2$ являются положительными числами, а заданный угол $\alpha$ больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$ (то есть, неразвернутый угол). При соблюдении этих условий построение всегда возможно. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все треугольники, построенные по заданным элементам, будут равны. Следовательно, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника $ABC$ описан выше. Треугольник существует и единственен, если данные стороны имеют положительную длину, а угол больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$.