Страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.1. Постройте отрезок, равный данному.

Для построения отрезка, равного данному, с помощью циркуля и линейки (без делений), необходимо выполнить следующую последовательность действий.

Дано:

Имеется отрезок $AB$.

Построение:

1. С помощью линейки проведём произвольную прямую, назовем ее $l$. На этой прямой выберем произвольную точку и обозначим ее буквой $C$. Эта точка будет началом нового отрезка.

2. Возьмём циркуль и измерим длину данного отрезка $AB$. Для этого установим иглу циркуля в точку $A$, а грифель — в точку $B$. Таким образом, раствор циркуля станет равным длине отрезка $AB$.

3. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $C$ на прямой $l$. Проведём дугу так, чтобы она пересекла прямую $l$. Точку пересечения обозначим буквой $D$.

4. Полученный отрезок $CD$ является искомым. По построению, его длина равна радиусу проведённой дуги, который мы установили равным длине отрезка $AB$. Следовательно, $CD = AB$.

Ответ: Отрезок $CD$ построен и его длина равна длине данного отрезка $AB$.

23.2. Постройте середину заданного отрезка.

Дано:

Задан произвольный отрезок AB.

Построение:

Для построения середины отрезка AB с помощью циркуля и линейки без делений выполним следующие шаги:
1. Установим раствор циркуля на радиус $R$, который заведомо больше половины длины отрезка AB. Для надежности можно взять радиус, равный длине всего отрезка AB.
2. Из точки A как из центра проведем дугу окружности радиусом $R$.
3. Не меняя раствора циркуля, из точки B как из центра проведем вторую дугу окружности тем же радиусом $R$.
4. Две построенные дуги пересекутся в двух точках. Обозначим их C и D.
5. С помощью линейки проведем прямую через точки C и D.
6. Точка пересечения прямой CD и отрезка AB является искомой серединой отрезка. Обозначим эту точку M.

Доказательство:

Соединим точки A, B, C и D, чтобы рассмотреть образовавшиеся треугольники.
Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$.
По построению, $AC = R$ и $BC = R$ как радиусы окружностей с одинаковым радиусом $R$.
Также по построению, $AD = R$ и $BD = R$ по той же причине.
Следовательно, $AC = BC = AD = BD$.
Сторона CD является общей для обоих треугольников.
Таким образом, $\triangle ACD = \triangle BCD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$ следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ACM = \angle BCM$.
Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$.
1. $AC = BC$ (по построению).
2. Сторона CM является общей.
3. $\angle ACM = \angle BCM$ (доказано выше).
Следовательно, $\triangle ACM = \triangle BCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Так как треугольники $\triangle ACM$ и $\triangle BCM$ равны, то равны и их соответствующие стороны: $AM = BM$.
Это по определению означает, что точка M является серединой отрезка AB.
Дополнительно заметим, что из равенства $\triangle ACM = \triangle BCM$ следует и равенство углов $\angle AMC = \angle BMC$. Поскольку эти углы смежные и их сумма равна $180^\circ$, то каждый из них равен $90^\circ$. Это доказывает, что прямая CD является серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Ответ: Точка M, построенная как точка пересечения прямой CD с отрезком AB, является искомой серединой отрезка.

23.3. Через данную точку, принадлежащую данной прямой, проведите прямую, перпендикулярную этой прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой. Требуется построить прямую $b$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $a$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Построение

1. Установим ножку циркуля в данную точку $M$ и проведём окружность произвольного, но фиксированного радиуса $r$. Эта окружность пересечёт прямую $a$ в двух точках. Обозначим их $A$ и $B$. По построению, отрезки $AM$ и $BM$ равны радиусу $r$, следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

2. Из точек $A$ и $B$ как из центров проведём две дуги окружностей одинакового радиуса $R$. Важно, чтобы этот радиус $R$ был больше половины длины отрезка $AB$, то есть $R > r$. Эти две дуги пересекутся по обе стороны от прямой $a$. Выберем одну из точек пересечения и обозначим её $N$.

3. С помощью линейки соединим точку $N$ с точкой $M$. Полученная прямая $NM$ и есть искомая прямая $b$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ANB$. По построению, его стороны $AN$ и $BN$ равны, так как они являются радиусами $R$ окружностей, построенных из центров $A$ и $B$ ($AN = BN = R$). Следовательно, треугольник $ANB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Отрезок $NM$ соединяет вершину $N$ с точкой $M$ на основании. Точка $M$ является серединой основания $AB$ ($AM = BM = r$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Таким образом, отрезок $NM$ перпендикулярен основанию $AB$.

Поскольку прямая $b$ содержит отрезок $NM$, а прямая $a$ содержит отрезок $AB$, то прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$ ($b \perp a$). Построение выполнено верно.

Ответ: Построенная прямая $b$ проходит через данную точку $M$ и перпендикулярна данной прямой $a$, что и требовалось в задаче.

23.4. Постройте треугольник $ABC$ по двум данным сторонам и углу между ними.

Задача о построении треугольника по двум сторонам и углу между ними является одной из основных задач на построение в курсе геометрии. Для её решения используются циркуль и линейка.

Построение

Пусть даны два отрезка с длинами $p_1$ и $p_2$, и угол $\alpha$. Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы $AB=p_1$, $AC=p_2$ и $\angle BAC = \alpha$.

Алгоритм построения следующий:
1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A$, которая будет одной из вершин треугольника.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок $AC$, равный по длине отрезку $p_2$.
3. От луча $AC$ в заданной полуплоскости отложим угол, равный данному углу $\alpha$. Для этого построим луч $AM$ так, чтобы $\angle CAM = \alpha$.
4. На луче $AM$ отложим отрезок $AB$, равный по длине отрезку $p_1$.
5. Соединим точки $B$ и $C$ отрезком.
Треугольник $ABC$, полученный в результате этих действий, является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ по построению равна $p_2$, сторона $AB$ по построению равна $p_1$, а угол $\angle BAC$ между сторонами $AB$ и $AC$ по построению равен $\alpha$. Таким образом, построенный треугольник полностью удовлетворяет условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если длины заданных отрезков $p_1$ и $p_2$ являются положительными числами, а заданный угол $\alpha$ больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$ (то есть, неразвернутый угол). При соблюдении этих условий построение всегда возможно. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), все треугольники, построенные по заданным элементам, будут равны. Следовательно, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника $ABC$ описан выше. Треугольник существует и единственен, если данные стороны имеют положительную длину, а угол больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$.

23.5. Постройте треугольник $\triangle ABC$ по данной стороне и двум данным прилежащим к ней углам.

Эта задача заключается в построении треугольника по заданной стороне и двум прилежащим к ней углам. Это одна из фундаментальных задач на построение, решаемая с помощью циркуля и линейки. Она соответствует второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Дано:

Для построения нам даны три элемента: отрезок, который будет стороной треугольника, и два угла, которые будут прилегать к этой стороне.

• Отрезок $P_1Q_1$ (его длина $a$).
• Угол $\angle 1$ (его величина $\alpha_1$).
• Угол $\angle 2$ (его величина $\alpha_2$).

Построить:

Требуется построить треугольник $ABC$ так, чтобы его сторона $BC$ была равна по длине отрезку $P_1Q_1$, а углы при вершинах $B$ и $C$ были равны соответственно данным углам $\angle 1$ и $\angle 2$. То есть, $BC = a$, $\angle ABC = \alpha_1$, $\angle ACB = \alpha_2$.

Построение:

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начертим произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $B$.
2. С помощью циркуля измерим длину отрезка $P_1Q_1$. Отложим от точки $B$ на прямой $l$ отрезок $BC$, равный по длине $P_1Q_1$.
3. В точке $B$ построим угол, равный данному углу $\angle 1$. Для этого из вершины данного угла $\angle 1$ проведем дугу окружности, пересекающую его стороны. Затем из точки $B$ проведем дугу того же радиуса. Измерив "раствор" (хорду) исходного угла циркулем, отложим его на дуге с центром в $B$. Проведем луч $BM$ из точки $B$ через полученную точку.
4. Аналогичным образом в точке $C$ построим угол, равный данному углу $\angle 2$, так, чтобы он лежал в той же полуплоскости относительно прямой $l$, что и первый построенный угол. Проведем луч $CN$.
5. Лучи $BM$ и $CN$ пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения как $A$.

Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ была построена равной данному отрезку $P_1Q_1$. Угол $\angle ABC$ (или $\angle B$) по построению равен данному углу $\angle 1$. Угол $\angle ACB$ (или $\angle C$) по построению равен данному углу $\angle 2$. Таким образом, все условия задачи выполнены, и треугольник $ABC$ является искомым.

Исследование:

Для того чтобы задача имела решение, необходимо, чтобы лучи $BM$ и $CN$ пересеклись. Согласно аксиоме параллельных прямых Евклида, это произойдет тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов при секущей $BC$ меньше $180^\circ$. В нашем случае это означает, что сумма данных углов должна быть меньше развернутого угла: $\alpha_1 + \alpha_2 < 180^\circ$.

• Если $\alpha_1 + \alpha_2 < 180^\circ$, задача имеет единственное решение (все построенные таким образом треугольники будут равны между собой).
• Если $\alpha_1 + \alpha_2 \ge 180^\circ$, то лучи не пересекутся (в одной полуплоскости) или будут параллельны, и построить треугольник невозможно.

Ответ: Для построения треугольника необходимо на произвольной прямой отложить отрезок, равный данной стороне. Затем от концов этого отрезка в одну и ту же полуплоскость отложить углы, равные двум данным углам. Точка пересечения сторон этих углов, не лежащих на исходной прямой, будет третьей вершиной искомого треугольника. Построение возможно только в том случае, если сумма двух данных углов меньше $180^\circ$.

прилегающий к ней углам.

23.6. Постройте угол, равный данному углу.

Для построения угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

Пусть нам дан произвольный угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $O$.

Построение

1. С помощью линейки проведём произвольный луч $O'M$. Точка $O'$ будет вершиной нового угла, а луч $O'M$ — одной из его сторон.

2. Установим ножку циркуля в вершину $O$ данного угла и проведём дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересечёт стороны угла $OA$ и $OB$ в точках $C$ и $D$ соответственно.

3. Не меняя раствор циркуля (сохраняя радиус $r$), перенесём ножку в точку $O'$ и проведём такую же дугу. Она пересечёт луч $O'M$ в точке $D'$.

4. Циркулем измерим расстояние между точками $C$ и $D$. Для этого установим ножку циркуля в одну из точек (например, $D$), а грифель — в другую ($C$). Таким образом, раствор циркуля станет равным длине отрезка (хорды) $CD$.

5. Сохраняя этот раствор, установим ножку циркуля в точку $D'$ на луче $O'M$ и проведём новую дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 3. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $C'$.

6. С помощью линейки соединим точки $O'$ и $C'$ и проведём луч $O'C'$.

Полученный угол $\angle C'O'D'$ (или $\angle C'O'M$) является искомым углом, равным данному углу $\angle AOB$.

На рисунке ниже показаны все вспомогательные построения. Слева — исходный угол с построениями на нем, справа — результат построения нового угла.

Доказательство

Для доказательства корректности построения рассмотрим треугольники $ \triangle COD $ и $ \triangle C'O'D' $.

1. По построению, отрезки $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же дуги с центром в точке $O$. Следовательно, $OC = OD = r$.

2. Аналогично, отрезки $O'C'$ и $O'D'$ являются радиусами дуги того же радиуса $r$ с центром в точке $O'$. Следовательно, $O'C' = O'D' = r$.

3. Из первых двух пунктов следует, что $OC = OD = O'C' = O'D'$.

4. Отрезок $C'D'$ был построен с помощью циркуля, раствор которого был установлен равным длине отрезка $CD$. Таким образом, по построению $CD = C'D'$.

Мы имеем два треугольника, $ \triangle COD $ и $ \triangle C'O'D' $, у которых все три стороны соответственно равны ($OC=O'C'$, $OD=O'D'$, $CD=C'D'$). По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), эти треугольники равны: $ \triangle COD \cong \triangle C'O'D' $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, угол при вершине $O$ в первом треугольнике равен углу при вершине $O'$ во втором: $\angle COD = \angle C'O'D'$.

Поскольку $\angle COD$ совпадает с исходным углом $\angle AOB$, а $\angle C'O'D'$ — это построенный угол, то задача решена верно.

Ответ: Алгоритм построения позволяет получить угол, равный данному, с использованием только циркуля и линейки. Построенный угол $\angle C'O'D'$ равен данному углу $\angle AOB$.

23.7. По данному рисунку 23.8 объясните, как построить треугольник ABC по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $CD = m$.

Рис. 23.8

Для построения треугольника $ABC$ по заданным сторонам $AC = b$, $AB = c$ и медиане $CD = m$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на анализе задачи и построении вспомогательного треугольника.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. В этом треугольнике нам даны длины сторон $AC = b$, $AB = c$ и медианы $CD = m$. По определению медианы, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что отрезок $AD$ равен половине длины стороны $AB$, то есть $AD = \frac{c}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны длины всех трех его сторон: $AC = b$ (по условию), $CD = m$ (по условию) и $AD = \frac{c}{2}$ (как половина стороны $AB$). Поскольку треугольник можно однозначно построить по трем сторонам, мы можем сначала построить треугольник $ADC$, а затем, зная положение точек $A$, $D$ и $C$, найти точку $B$ и завершить построение исходного треугольника $ABC$.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки разделим данный отрезок $c$ пополам. Для этого можно построить его серединный перпендикуляр. В результате получим отрезок длиной $\frac{c}{2}$.

2. Построим треугольник $ADC$ по трем известным сторонам ($b$, $m$, и $\frac{c}{2}$). Для этого проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок $AD$ длиной $\frac{c}{2}$. Затем из точки $A$ как из центра проведем дугу окружности радиусом $b$, а из точки $D$ как из центра — дугу окружности радиусом $m$. Точка пересечения этих дуг и будет третьей вершиной треугольника, точкой $C$. Соединим точки $A$, $D$ и $C$ отрезками.

3. Завершим построение искомого треугольника $ABC$. Продлим отрезок $AD$ за точку $D$ и отложим на этом луче отрезок $DB$, равный по длине отрезку $AD$ (то есть $\frac{c}{2}$). Таким образом, мы получим отрезок $AB = AD + DB = \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c$.

4. Соединим точку $B$ с точкой $C$.

Построенный треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ равна $b$ (по построению, как радиус дуги с центром в $A$), а медиана $CD$ равна $m$ (как радиус дуги с центром в $D$). Сторона $AB$ по построению равна $c$, так как $AB = AD + DB = \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c$. Поскольку точка $D$ является серединой отрезка $AB$, отрезок $CD$ действительно является медианой треугольника $ABC$. Следовательно, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ADC$. Для этого необходимо, чтобы длины его сторон ($b$, $m$ и $\frac{c}{2}$) удовлетворяли неравенству треугольника, то есть сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны:

$b + m > \frac{c}{2}$

$b + \frac{c}{2} > m$

$m + \frac{c}{2} > b$

Если эти условия выполняются, задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности, так как вершину $C$ можно построить по любую из двух сторон от прямой $AB$, что дает два симметричных треугольника).

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится на основе вспомогательного треугольника $ADC$, у которого стороны равны $AC=b$, $CD=m$ и $AD=\frac{c}{2}$. После построения $\triangle ADC$, на продолжении луча $AD$ откладывается отрезок $DB=AD$, и точка $B$ соединяется с $C$.

23.8. По данному рисунку 23.9 объясните, как построить треугольник $ABC$ по двум данным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AD = m$.

$b$

$c$

$m$

Рис. 23.9

Для того чтобы построить треугольник $ABC$ по двум заданным сторонам $AB = c$, $AC = b$ и медиане $AD = m$, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на идее достроения исходного треугольника до параллелограмма, как показано на рисунке.

Анализ. Сначала рассмотрим вспомогательное построение, которое является ключом к решению. Продолжим медиану $AD$ за точку $D$ на ее собственную длину до точки $E$. То есть, построим отрезок $AE$ так, что $D$ будет его серединой и $AD = DE = m$. В результате получим отрезок $AE$ длиной $2m$. Теперь рассмотрим четырехугольник $ABEC$. Его диагонали $AE$ и $BC$ пересекаются в точке $D$. По определению медианы, $D$ является серединой стороны $BC$. По нашему построению, $D$ также является серединой диагонали $AE$. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABEC$ — это параллелограмм. Из свойств параллелограмма известно, что его противоположные стороны равны. Значит, $BE = AC = b$ и $CE = AB = c$. Это приводит нас к возможности построить треугольник $ABE$, так как мы знаем длины всех трех его сторон: $AB=c$, $AE=2m$ и $BE=b$. Построение треугольника по трем сторонам является стандартной задачей.

Построение. Таким образом, алгоритм построения искомого треугольника $ABC$ будет следующим.
1. Сначала строим отрезок $AE$ длиной, равной удвоенной длине медианы, то есть $2m$.
2. Затем из одного конца этого отрезка, точки $A$, проводим дугу окружности радиусом $c$ (длина стороны $AB$).
3. Из другого конца, точки $E$, проводим дугу окружности радиусом $b$ (длина стороны $AC$, которая равна стороне $BE$ в параллелограмме).
4. Точка пересечения этих дуг даст нам третью вершину вспомогательного треугольника — точку $B$. Соединив точки $A$, $B$ и $E$, получим треугольник $ABE$.
5. Теперь, когда у нас есть вершины $A$ и $B$ искомого треугольника $ABC$, нам осталось найти вершину $C$. Мы знаем, что точка $D$ (середина медианы $BC$) является также серединой построенного нами отрезка $AE$. Находим точку $D$, разделив отрезок $AE$ пополам.
6. Далее проводим прямую через точки $B$ и $D$. На этой прямой от точки $D$ откладываем отрезок $DC$, равный по длине отрезку $BD$. Полученная точка $C$ и есть третья вершина искомого треугольника.
7. Соединяем вершины $A$, $B$ и $C$.

Доказательство. В итоге мы получаем треугольник $ABC$, в котором по построению сторона $AB$ равна $c$, медиана $AD$ равна $m$ (половина отрезка $AE$), а сторона $AC$ равна $b$ (так как она равна стороне $BE$ в параллелограмме $ABEC$, диагонали которого по построению делятся точкой пересечения пополам). Задача решена.

Ответ: Построение треугольника $ABC$ выполняется через построение вспомогательного треугольника $ABE$ со сторонами $AB=c$, $AE=2m$ и $BE=b$. После построения этого треугольника находят середину $D$ стороны $AE$. Затем на луче $BD$ откладывают отрезок $DC=BD$, получая вершину $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.