Страница 131 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какие инструменты используются для построения геометрических фигур?

2. Какие построения производятся с помощью: а) линейки; б) циркуля?

3. Как построить серединный перпендикуляр к отрезку?

4. Как опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую?

5. Как построить биссектрису угла?

6. Как построить треугольник по трем сторонам?

1. Какие инструменты используются для построения геометрических фигур?
Для классических геометрических построений на плоскости, также известных как построения циркулем и линейкой, используются два основных инструмента:
1. Линейка без делений (прямое ребро): это идеализированный инструмент, который позволяет провести прямую линию через любые две заданные точки. Важно, что на ней нет шкалы для измерения длины.
2. Циркуль: позволяет начертить окружность (или дугу окружности) с заданным центром и радиусом, равным расстоянию между двумя заданными точками.
Эти два инструмента лежат в основе евклидовой геометрии построений. Иногда в школьном курсе геометрии также используют другие инструменты, такие как транспортир для измерения углов или линейку с делениями, но задачи на "построение" в классическом смысле решаются только с помощью циркуля и линейки без делений.

Ответ: Для построения геометрических фигур в классическом понимании используются циркуль и линейка без делений.

2. Какие построения производятся с помощью: а) линейки; б) циркуля?
а) линейки:
С помощью линейки (без делений) можно выполнить следующие основные построения:
- Провести произвольную прямую линию.
- Провести прямую, проходящую через две данные точки.
- Провести отрезок, соединяющий две данные точки.
- Продолжить данный отрезок в обе стороны до прямой.

б) циркуля:
С помощью циркуля можно выполнить следующие основные построения:
- Провести окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
- Провести дугу окружности с заданным центром и радиусом.
- Отложить от начала данного луча отрезок, равный данному отрезку. Это позволяет "копировать" или "переносить" длины.

Ответ: а) С помощью линейки проводят прямые линии и отрезки через заданные точки. б) С помощью циркуля проводят окружности и дуги, а также откладывают отрезки заданной длины.

3. Как построить серединный перпендикуляр к отрезку?
Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Для его построения необходимо выполнить следующие шаги:
1. Пусть дан отрезок $AB$.
2. Установим раствор циркуля на расстояние $R$, которое заведомо больше половины длины отрезка $AB$ ($R > \frac{1}{2}AB$).
3. Поставив ножку циркуля в точку $A$, проведём дугу окружности радиусом $R$.
4. Не меняя раствора циркуля, поставим его ножку в точку $B$ и проведём вторую дугу радиусом $R$ так, чтобы она пересекла первую дугу в двух точках. Назовём эти точки $C$ и $D$.
5. С помощью линейки проведём прямую через точки пересечения $C$ и $D$.
Прямая $CD$ является искомым серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

Ответ: Нужно из концов отрезка провести две пересекающиеся дуги одинакового радиуса (большего половины отрезка), а затем соединить прямой точки их пересечения.

4. Как опустить перпендикуляр из данной точки на данную прямую?
Пусть дана прямая $l$ и точка $P$, не лежащая на этой прямой. Чтобы построить перпендикуляр из точки $P$ на прямую $l$, нужно:
1. Поставить ножку циркуля в точку $P$.
2. Выбрать такой радиус циркуля, чтобы дуга, проведённая из точки $P$, пересекла прямую $l$ в двух точках. Назовём эти точки $A$ и $B$.
3. Теперь задача сводится к построению серединного перпендикуляра для отрезка $AB$. Из точек $A$ и $B$ проведём две дуги одинакового радиуса (можно того же, что и в шаге 2, или любого другого, большего половины длины $AB$) с другой стороны от прямой $l$.
4. Точку пересечения этих дуг назовём $Q$.
5. Соединим точки $P$ и $Q$ прямой линией.
Прямая $PQ$ будет перпендикулярна прямой $l$ и будет проходить через точку $P$.

Ответ: Из данной точки провести дугу, пересекающую прямую в двух точках. Затем из этих двух точек провести ещё две пересекающиеся дуги. Прямая, соединяющая исходную точку и точку пересечения новых дуг, будет искомым перпендикуляром.

5. Как построить биссектрису угла?
Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Для её построения нужно:
1. Пусть дан угол с вершиной в точке $O$.
2. Поставим ножку циркуля в вершину угла $O$ и проведём дугу произвольного радиуса так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Назовём точки пересечения $P$ и $Q$.
3. Теперь из точек $P$ и $Q$ проведём две дуги одинакового радиуса (можно оставить тот же радиус или взять новый, главное, чтобы он был достаточным для пересечения дуг).
4. Точку пересечения этих двух дуг назовём $R$.
5. С помощью линейки проведём луч из вершины $O$ через точку $R$.
Луч $OR$ является биссектрисой данного угла.

Ответ: Из вершины угла провести дугу, пересекающую его стороны. Из точек пересечения провести еще две одинаковые дуги до их взаимного пересечения. Луч, соединяющий вершину угла с точкой пересечения этих дуг, и есть биссектриса.

6. Как построить треугольник по трем сторонам?
Пусть даны три отрезка, длины которых равны $a$, $b$ и $c$. Для построения треугольника с такими сторонами необходимо, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны (например, $a+b > c$). Если это условие выполняется, построение возможно:
1. Проведём произвольную прямую и выберем на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля отложим на этой прямой от точки $A$ отрезок, равный одной из сторон, например $c$. Получим точку $B$. Таким образом, $AB = c$.
3. Из точки $A$ проведём дугу окружности с радиусом, равным длине второй стороны, $b$.
4. Из точки $B$ проведём дугу окружности с радиусом, равным длине третьей стороны, $a$.
5. Дуги пересекутся в точке (или двух точках, по одной с каждой стороны от отрезка $AB$). Обозначим одну из этих точек как $C$.
6. Соединим точку $C$ с точками $A$ и $B$ с помощью линейки.
Треугольник $ABC$ — искомый, так как его стороны по построению равны $c$ ($AB$), $b$ ($AC$) и $a$ ($BC$).

Ответ: На прямой откладывается одна из сторон. Из её концов проводятся дуги окружностей с радиусами, равными двум другим сторонам. Точка пересечения дуг является третьей вершиной треугольника.