Страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая окружность называется описанной около треугольника?

2. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

3. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

4. Какой треугольник называется описанным около окружности?

5. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?

6. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?

1. Какая окружность называется описанной около треугольника?

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все три вершины этого треугольника. В этом случае все вершины треугольника лежат на окружности. Для любого треугольника существует единственная описанная окружность.

Ответ: Окружность, проходящая через все три вершины треугольника.

2. Какой треугольник называется вписанным в окружность?

Треугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Это определение является обратным к определению описанной окружности.

Ответ: Треугольник, все вершины которого лежат на окружности.

3. Какая окружность называется вписанной в треугольник?

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трёх сторон этого треугольника. Каждая сторона треугольника является касательной к окружности. В любой треугольник можно вписать единственную окружность.

Ответ: Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника.

4. Какой треугольник называется описанным около окружности?

Треугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Это определение является обратным к определению вписанной окружности.

Ответ: Треугольник, все стороны которого касаются окружности.

5. Какая точка является центром окружности, описанной около треугольника?

Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину стороны треугольника и перпендикулярная ей. Эта точка равноудалена от всех трёх вершин треугольника.

Ответ: Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

6. Какая точка является центром окружности, вписанной в треугольник?

Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения его биссектрис. Биссектриса угла треугольника – это луч, который делит угол пополам. Эта точка равноудалена от всех трёх сторон треугольника.

Ответ: Точка пересечения биссектрис углов треугольника.

22.1. Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника?

Нет, центр вписанной в треугольник окружности не может находиться вне этого треугольника. Он всегда расположен строго внутри треугольника. Этот факт следует из определения центра вписанной окружности.

Способ 1. Через определение центра как точки пересечения биссектрис.

Центр вписанной в треугольник окружности, также называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис всех трех внутренних углов треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Внутренний угол треугольника всегда меньше $180^\circ$. Биссектриса такого угла (например, угла $A$) представляет собой луч, который выходит из вершины $A$ и проходит между сторонами $AB$ и $AC$. Следовательно, отрезок биссектрисы, соединяющий вершину с противоположной стороной, целиком лежит внутри треугольника (за исключением его концов, которые находятся на границе).

Поскольку сам треугольник является выпуклой фигурой, и все три отрезка биссектрис его внутренних углов проходят внутри него, то их общая точка пересечения (инцентр) также обязана находиться внутри треугольника.

Способ 2. Через определение вписанной окружности.

Вписанная окружность по определению — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника и полностью содержится внутри него. Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех трех прямых, содержащих стороны треугольника. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности.

Если бы центр окружности находился вне треугольника, то и сама окружность не могла бы целиком располагаться внутри треугольника. Она либо пересекала бы одну из сторон, либо находилась бы полностью по другую сторону от нее. В любом из этих случаев она не могла бы касаться всех трех сторон изнутри, что противоречит определению вписанной окружности.

Таким образом, центр вписанной окружности всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Нет, не может.

22.2. Может ли центр описанной около треугольника окружности находиться:
а) внутри треугольника;
б) на стороне треугольника;
в) вне этого треугольника? Приведите примеры.

а) Да, центр описанной около треугольника окружности может находиться внутри треугольника. Это происходит в том случае, если треугольник является остроугольным, то есть все его углы меньше $90^\circ$. Центр описанной окружности — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, и для остроугольного треугольника эта точка всегда лежит внутри него.
Пример: Равносторонний треугольник или любой другой остроугольный треугольник. На рисунке изображен остроугольный треугольник ABC, его описанная окружность (красный пунктир) и ее центр O, который находится внутри треугольника.

Ответ: Да, может, если треугольник остроугольный.

б) Да, центр описанной окружности может находиться на стороне треугольника. Это происходит тогда и только тогда, когда треугольник является прямоугольным. В этом случае центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы — стороны, лежащей напротив прямого угла.
Пример: Любой прямоугольный треугольник. На рисунке показан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Центр O описанной окружности лежит на середине гипотенузы AB.

Ответ: Да, может, если треугольник прямоугольный.

в) Да, центр описанной окружности может находиться вне этого треугольника. Это происходит, если треугольник является тупоугольным, то есть один из его углов больше $90^\circ$. У такого треугольника точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам оказывается за его пределами.
Пример: Любой тупоугольный треугольник. На рисунке изображен тупоугольный треугольник ABC с тупым углом C. Центр O описанной окружности расположен вне треугольника.

Ответ: Да, может, если треугольник тупоугольный.

22.3. Для данных треугольников (рис. 22.6) постройте центры описанных окружностей.

а)

б)

в)

Рис. 22.6

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему. Для нахождения центра описанной окружности достаточно построить два любых серединных перпендикуляра и найти их точку пересечения.

а)

Данный треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как его стороны $AC$ и $BC$ перпендикулярны (наклоны их равны $1$ и $-1$ соответственно, если поместить треугольник в систему координат). Угол $C$ прямой ($90^\circ$). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится на середине его гипотенузы.

Для построения построим серединный перпендикуляр к гипотенузе $AB$. Так как $AB$ — горизонтальный отрезок длиной 4 клетки, его середина находится посредине, а перпендикуляр к нему — вертикальная прямая. Построим также серединный перпендикуляр к катету $BC$. Точка их пересечения $O$ и будет искомым центром. Как видно из рисунка, точка $O$ совпадает с серединой гипотенузы $AB$.

Ответ: Центр описанной окружности (точка O) является серединой стороны AB.

б)

Данный треугольник $ABC$ является остроугольным и равнобедренным, так как стороны $AC$ и $BC$ равны. Центр описанной окружности остроугольного треугольника всегда находится внутри треугольника.

Поскольку треугольник равнобедренный, его ось симметрии (проходящая через вершину $C$ и середину основания $AB$) является серединным перпендикуляром к стороне $AB$. Искомый центр лежит на этой прямой. Построим серединный перпендикуляр к другой стороне, например $AC$. Для этого найдем середину отрезка $AC$ и проведем через нее прямую, перпендикулярную $AC$. Точка пересечения $O$ этих двух перпендикуляров является центром описанной окружности.

Ответ: Центр описанной окружности (точка O) расположен внутри треугольника на его оси симметрии.

в)

Данный треугольник $ABC$ является тупоугольным (угол $C$ больше $90^\circ$). Центр описанной окружности тупоугольного треугольника всегда находится вне треугольника.

Построим серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Так как $AB$ — горизонтальный отрезок длиной 5 клеток, его середина находится на расстоянии 2.5 клетки от вершины $A$, а перпендикуляр является вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Затем построим серединный перпендикуляр к стороне $AC$. Точка их пересечения $O$ находится вне треугольника и является искомым центром.

Ответ: Центр описанной окружности (точка O) расположен вне треугольника.

22.4. Постройте центры окружностей, вписанных в треугольники, изображенные на рисунке 22.7.

a) A, B, C

б) A, B, C

в) A, B, C

Рис. 22.7

Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) — это точка пересечения его биссектрис. Свойство инцентра заключается в том, что он равноудален от всех сторон треугольника. Для нахождения центра вписанной окружности достаточно построить биссектрисы двух любых углов треугольника и найти их точку пересечения. Классическое построение биссектрисы угла выполняется с помощью циркуля и линейки.

а) Для треугольника, изображенного на рисунке а), построим биссектрисы углов A и C. Точка их пересечения I является искомым центром вписанной окружности.

Ответ: Центр вписанной окружности построен на рисунке и обозначен точкой I.

б) Для треугольника, изображенного на рисунке б), построим биссектрисы углов A и B. Точка их пересечения I является центром вписанной окружности.

Ответ: Центр вписанной окружности построен на рисунке и обозначен точкой I.

в) Для треугольника, изображенного на рисунке в), построим биссектрисы углов B и C. Точка их пересечения I является центром вписанной окружности.

Ответ: Центр вписанной окружности построен на рисунке и обозначен точкой I.