Номер 22.1, страница 126 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Глава 4. Окружность. Геометрические построения - номер 22.1, страница 126.

Условие.

22.1. Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника?

Решение.

Решение 2.

Нет, центр вписанной в треугольник окружности не может находиться вне этого треугольника. Он всегда расположен строго внутри треугольника. Этот факт следует из определения центра вписанной окружности.

Способ 1. Через определение центра как точки пересечения биссектрис.

Центр вписанной в треугольник окружности, также называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис всех трех внутренних углов треугольника.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Внутренний угол треугольника всегда меньше $180^\circ$. Биссектриса такого угла (например, угла $A$) представляет собой луч, который выходит из вершины $A$ и проходит между сторонами $AB$ и $AC$. Следовательно, отрезок биссектрисы, соединяющий вершину с противоположной стороной, целиком лежит внутри треугольника (за исключением его концов, которые находятся на границе).

Поскольку сам треугольник является выпуклой фигурой, и все три отрезка биссектрис его внутренних углов проходят внутри него, то их общая точка пересечения (инцентр) также обязана находиться внутри треугольника.

Способ 2. Через определение вписанной окружности.

Вписанная окружность по определению — это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника и полностью содержится внутри него. Центр окружности — это точка, равноудаленная от всех трех прямых, содержащих стороны треугольника. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной окружности.

Если бы центр окружности находился вне треугольника, то и сама окружность не могла бы целиком располагаться внутри треугольника. Она либо пересекала бы одну из сторон, либо находилась бы полностью по другую сторону от нее. В любом из этих случаев она не могла бы касаться всех трех сторон изнутри, что противоречит определению вписанной окружности.

Таким образом, центр вписанной окружности всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Нет, не может.