Номер 22.7, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 22. Окружность, описанная около треугольника. Окружность, вписанная в треугольник. Глава 4. Окружность. Геометрические построения - номер 22.7, страница 127.

Условие.

22.7. Докажите, что центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, принадлежит высоте, опущенной из вершины, противолежащей основанию этого треугольника.

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC$, в котором боковые стороны равны: $AB = BC$. Пусть $O$ — центр вписанной в этот треугольник окружности. Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$, так что $BH \perp AC$.

Доказательство основано на двух ключевых определениях и свойствах:

1. По определению, центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Это означает, что центр $O$ должен лежать на биссектрисе каждого угла, в том числе и на биссектрисе угла $\angle ABC$.

2. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, высота $BH$ в треугольнике $\triangle ABC$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Из этих двух пунктов следует, что и центр вписанной окружности $O$, и высота $BH$ лежат на одной и той же прямой — биссектрисе угла $\angle ABC$. Таким образом, точка $O$ принадлежит высоте $BH$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.