Номер 22.14, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.14. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 4 см, а угол, заключенный между ними, равен 120°.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = 4$ см, а угол между ними $\angle B = 120^\circ$. Необходимо найти радиус $R$ описанной около этого треугольника окружности.

Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов, согласно которой отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника и равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Сначала найдем углы при основании треугольника. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны: $\angle A = \angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$2\angle A + 120^\circ = 180^\circ$

$2\angle A = 180^\circ - 120^\circ$

$2\angle A = 60^\circ$

$\angle A = 30^\circ$

Теперь мы знаем сторону треугольника ($BC = 4$ см) и противолежащий ей угол ($\angle A = 30^\circ$). Мы можем применить теорему синусов для нахождения радиуса $R$.

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R$

Подставляем известные значения в формулу:

$\frac{4}{\sin(30^\circ)} = 2R$

Известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.

$\frac{4}{\frac{1}{2}} = 2R$

$4 \cdot 2 = 2R$

$8 = 2R$

$R = 4$ см.

Ответ: 4 см.