Номер 22.12, страница 128 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.12. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 5 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB=BC$. Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Согласно условию, точка касания $N$ на боковой стороне $BC$ делит её на отрезки длиной 5 см и 4 см, считая от основания. Таким образом, отрезок $CN$, примыкающий к основанию $AC$, равен 5 см, а отрезок $BN$ равен 4 см. Полная длина боковой стороны $BC$ составляет $BC = CN + BN = 5 + 4 = 9$ см.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным, его боковые стороны равны: $AB = BC = 9$ см.

Для нахождения длины основания воспользуемся свойством отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки: они равны.Из вершины $C$ проведены касательные $CN$ и $CK$, следовательно, $CK = CN = 5$ см.Из вершины $B$ проведены касательные $BN$ и $BM$, следовательно, $BM = BN = 4$ см.Из вершины $A$ проведены касательные $AM$ и $AK$. Длину отрезка $AM$ можно найти, зная длину стороны $AB$: $AM = AB - BM = 9 - 4 = 5$ см. Следовательно, $AK = AM = 5$ см.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $CK$:$AC = AK + CK = 5 + 5 = 10$ см.

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:$P = AB + BC + AC = 9 + 9 + 10 = 28$ см.

Ответ: 28 см.