Номер 22.5, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на рисунке 22.8 (стороны клеток равны 1).

a) б)
в)

Рис. 22.8

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника, а $S$ — его площадь. Поскольку стороны клеток равны 1, мы можем ввести декартову систему координат для нахождения длин сторон и площади каждого треугольника.

a) Введем систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты: $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(3, 3)$.Найдем длины сторон треугольника по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:
$c = AB = \sqrt{(5-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{4^2} = 4$.
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$a = BC = \sqrt{(5-3)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Найдем площадь треугольника. Основание $AB$ равно 4, высота, проведенная к нему из вершины $C$, равна $3-1=2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4$.
Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{2\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{8 \cdot 4}{16} = \frac{32}{16} = 2$.
Ответ: $2$.

б) Введем систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты: $A(0, 0)$, $C(0, 3)$, $B(2, 2)$.Найдем длины сторон треугольника:
$b = AC = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.
$c = AB = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$a = BC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$.
Найдем площадь треугольника. Основание $AC$ лежит на оси OY и равно 3. Высота, проведенная к нему из вершины $B$, равна абсциссе точки $B$, то есть 2.
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{\sqrt{5} \cdot 3 \cdot 2\sqrt{2}}{4 \cdot 3} = \frac{6\sqrt{10}}{12} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

в) Введем систему координат так, чтобы вершины треугольника имели координаты: $C(1, 3)$, $B(6, 3)$, $A(3, 1)$.Найдем длины сторон треугольника:
$a = BC = \sqrt{(6-1)^2 + (3-3)^2} = \sqrt{5^2} = 5$.
$b = AC = \sqrt{(3-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$c = AB = \sqrt{(6-3)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.
Найдем площадь треугольника. Основание $BC$ параллельно оси OX и равно 5. Высота, проведенная к нему из вершины $A$, равна разности ординат: $3-1=2$.
$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}}{4 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{26}}{20} = \frac{\sqrt{26}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{26}}{2}$.