Номер 22.6, страница 127 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

22.6. Жильцы трех домов A, B и C, расположенных в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 22.9), хотят выкопать общий колодец с таким расчетом, чтобы он одинаково был удален от всех трех домов. В каком месте надо копать?

Рис. 22.9

Для решения этой задачи нужно найти точку, которая находится на одинаковом расстоянии от трех домов. Дома расположены в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника. В геометрии точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, называется центром описанной окружности.

Центр описанной окружности — это точка, в которой пересекаются серединные перпендикуляры к сторонам треугольника. Для прямоугольного треугольника существует особое свойство: центр его описанной окружности всегда находится в середине гипотенузы (стороны, лежащей напротив прямого угла).

Рассмотрим данный случай. Пусть дома расположены в вершинах $A$, $B$ и $C$ равнобедренного прямоугольного треугольника. Предположим, что прямой угол находится в вершине $A$, а гипотенузой является сторона $BC$. Нам нужно найти точку $K$ (место для колодца) такую, что $KA = KB = KC$.

Согласно теореме о медиане прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, ее длина равна половине длины гипотенузы. Если мы разместим колодец $K$ в середине гипотенузы $BC$, то медиана $AK$ будет равна $AK = \frac{1}{2}BC$.

Поскольку $K$ — середина отрезка $BC$, то расстояния от $K$ до вершин $B$ и $C$ также равны половине длины этого отрезка: $KB = KC = \frac{1}{2}BC$.

Таким образом, мы получаем, что $KA = KB = KC$. Это и есть искомое место, так как оно равноудалено от всех трех домов. Тот факт, что треугольник равнобедренный, не меняет решения, так как свойство центра описанной окружности справедливо для любого прямоугольного треугольника.

Ответ: Колодец надо копать в середине гипотенузы — самой длинной стороны треугольника, образованного тремя домами.