Номер 23.3, страница 132 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

23.3. Через данную точку, принадлежащую данной прямой, проведите прямую, перпендикулярную этой прямой.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой. Требуется построить прямую $b$, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную прямой $a$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Построение

1. Установим ножку циркуля в данную точку $M$ и проведём окружность произвольного, но фиксированного радиуса $r$. Эта окружность пересечёт прямую $a$ в двух точках. Обозначим их $A$ и $B$. По построению, отрезки $AM$ и $BM$ равны радиусу $r$, следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

2. Из точек $A$ и $B$ как из центров проведём две дуги окружностей одинакового радиуса $R$. Важно, чтобы этот радиус $R$ был больше половины длины отрезка $AB$, то есть $R > r$. Эти две дуги пересекутся по обе стороны от прямой $a$. Выберем одну из точек пересечения и обозначим её $N$.

3. С помощью линейки соединим точку $N$ с точкой $M$. Полученная прямая $NM$ и есть искомая прямая $b$.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $ANB$. По построению, его стороны $AN$ и $BN$ равны, так как они являются радиусами $R$ окружностей, построенных из центров $A$ и $B$ ($AN = BN = R$). Следовательно, треугольник $ANB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

Отрезок $NM$ соединяет вершину $N$ с точкой $M$ на основании. Точка $M$ является серединой основания $AB$ ($AM = BM = r$). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Таким образом, отрезок $NM$ перпендикулярен основанию $AB$.

Поскольку прямая $b$ содержит отрезок $NM$, а прямая $a$ содержит отрезок $AB$, то прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$ ($b \perp a$). Построение выполнено верно.

Ответ: Построенная прямая $b$ проходит через данную точку $M$ и перпендикулярна данной прямой $a$, что и требовалось в задаче.