Страница 120 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Что называется геометрическим местом точек?

2. Определите окружность через понятие геометрического места точек.

3. Какая прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку?

4. Каким геометрическим местом точек является: а) серединный перпендикуляр к отрезку; б) биссектриса угла?

1. Геометрическим местом точек (сокращенно ГМТ) называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, которые обладают некоторым заданным свойством, и только из них. Это означает, что для фигуры $F$, являющейся ГМТ с свойством $P$, должны выполняться два условия:

1. Каждая точка, принадлежащая фигуре $F$, обладает свойством $P$.

2. Каждая точка плоскости, обладающая свойством $P$, принадлежит фигуре $F$.

Ответ: Геометрическое место точек — это множество всех точек, удовлетворяющих определённому свойству.

2. С точки зрения геометрического места точек, окружность определяется как множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом, заданном расстоянии от одной данной точки. Эта данная точка называется центром окружности, а заданное расстояние — её радиусом. Если обозначить центр буквой $O$, а радиус — буквой $R$ (где $R > 0$), то любая точка $M$, принадлежащая окружности, удовлетворяет условию $OM = R$.

Ответ: Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от данной точки.

3. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

На рисунке прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$, так как она проходит через его середину $M$ (отрезки $AM$ и $MB$ равны) и перпендикулярна ему ($m \perp AB$).

Ответ: Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная ему.

4. а) серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от концов этого отрезка. Это значит, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$, находится на равном расстоянии от точек $A$ и $B$ (то есть $PA = PB$), и наоборот, любая точка, равноудалённая от $A$ и $B$, лежит на этом перпендикуляре.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудалённых от концов этого отрезка.

б) биссектриса угла

Биссектриса угла — это геометрическое место точек, лежащих внутри угла и равноудалённых от его сторон. Расстояние от точки до стороны угла — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, содержащую сторону. Таким образом, для любой точки $P$ на биссектрисе её расстояния до сторон угла равны.

Ответ: Биссектриса угла является геометрическим местом точек, принадлежащих углу и равноудалённых от его сторон.

21.1. Какое геометрическое место точек представляет собой: а) отрезок; б) луч; в) круг с центром $O$ и радиусом $R$; г) кольцо с центром $O$ и радиусами $R_1, R_2$ ($R_1 < R_2$)?

а) Отрезок с концами в точках A и B представляет собой геометрическое место точек M, лежащих на прямой AB, для которых сумма расстояний до концов отрезка, A и B, равна расстоянию между этими концами. Это условие выражается формулой $AM + MB = AB$. Для любой точки, не лежащей на отрезке AB (включая точки на прямой AB, но вне отрезка), сумма расстояний $AM + MB$ будет строго больше, чем $AB$ (согласно неравенству треугольника).

Ответ: Отрезок AB — это геометрическое место точек M, для которых выполняется равенство $AM + MB = AB$.

б) Луч — это геометрическое место точек прямой, которые лежат по одну сторону от заданной точки на этой прямой, называемой началом луча. Начало луча также принадлежит лучу. Чтобы задать луч, необходимо указать его начальную точку (например, A) и любую другую точку (например, B), которая задает его направление.

Ответ: Луч — это геометрическое место точек прямой, лежащих по одну сторону от данной точки (начала луча), включая эту точку.

в) Круг с центром в точке O и радиусом R — это геометрическое место точек M плоскости, расстояние от которых до центра O не превышает радиус R. Это условие выражается неравенством $OM \le R$. Точки, для которых $OM = R$, образуют границу круга — окружность. Точки, для которых $OM < R$, являются внутренними точками круга.

Ответ: Круг с центром O и радиусом R — это геометрическое место точек M, для которых выполняется неравенство $OM \le R$.

г) Кольцо с центром в точке O и радиусами $R_1$ и $R_2$ (при условии $R_1 < R_2$) — это геометрическое место точек M плоскости, которые находятся на расстоянии от центра O не меньшем, чем $R_1$, и не большем, чем $R_2$. Это условие описывается двойным неравенством $R_1 \le OM \le R_2$. Фигура представляет собой область между двумя концентрическими окружностями.

Ответ: Кольцо с центром O и радиусами $R_1$ и $R_2$ ($R_1 < R_2$) — это геометрическое место точек M, для которых выполняется двойное неравенство $R_1 \le OM \le R_2$.

21.2. На клетчатой бумаге изобразите геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от точек A и B (рис. 21.3).

а)

б)

Рис. 21.3

Геометрическое место точек (ГМТ), равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Чтобы построить его, мы для каждого случая найдем середину отрезка AB и проведем через нее прямую, перпендикулярную AB.

а) Введем систему координат, в которой левый нижний узел сетки является началом координат $(0,0)$, а сторона клетки равна 1. Тогда точки имеют координаты: $A(1, 4)$ и $B(3, 1)$.

Найдем координаты середины $M$ отрезка AB по формуле $M = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2})$:

$M = (\frac{1+3}{2}; \frac{4+1}{2}) = (2; 2.5)$

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB по формуле $k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$:

$k_{AB} = \frac{1-4}{3-1} = -\frac{3}{2}$

Угловой коэффициент $k_{\perp}$ перпендикулярной прямой связан с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$. Отсюда:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-3/2} = \frac{2}{3}$

Искомая прямая проходит через точку $M(2; 2.5)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{2}{3}$. Это означает, что при смещении на 3 клетки вправо, прямая поднимается на 2 клетки вверх (или на 3 клетки влево и на 2 клетки вниз).

Ответ: Искомое ГМТ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, изображенный на рисунке.

б) Используем ту же систему координат. Точки имеют координаты: $A(1, 3)$ и $B(4, 1)$.

Найдем координаты середины $M$ отрезка AB:

$M = (\frac{1+4}{2}; \frac{3+1}{2}) = (2.5; 2)$

Найдем угловой коэффициент $k_{AB}$ прямой AB:

$k_{AB} = \frac{1-3}{4-1} = -\frac{2}{3}$

Найдем угловой коэффициент $k_{\perp}$ серединного перпендикуляра:

$k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$

Искомая прямая проходит через точку $M(2.5; 2)$ и имеет угловой коэффициент $k_{\perp} = \frac{3}{2}$. Это означает, что при смещении на 2 клетки вправо, прямая поднимается на 3 клетки вверх (или на 2 влево и на 3 вниз).

Ответ: Искомое ГМТ — серединный перпендикуляр к отрезку AB, изображенный на рисунке.

21.3. На прямой $c$ изобразите точку $C$, равноудаленную от точек $A$ и $B$ (рис. 21.4).

б) Рис. 21.4

Задача заключается в нахождении на прямой c точки C, которая равноудалена от двух данных точек A и B. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, — это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, чтобы найти точку C, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить отрезок AB.

2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку AB.

3. Найти точку пересечения этого перпендикуляра с прямой c. Эта точка и будет искомой точкой C.

а) Выполним построение для случая а). Введем систему координат, приняв сторону клетки за единицу длины и разместив начало координат в левом нижнем углу видимой сетки.

1. Координаты точек: $A(1, 1)$ и $B(3, 1)$.

2. Найдем середину отрезка AB — точку M. Ее координаты вычисляются как среднее арифметическое координат концов отрезка: $M(\frac{1+3}{2}; \frac{1+1}{2}) = M(2; 1)$.

3. Отрезок AB является горизонтальным, так как ординаты точек A и B совпадают. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку — это вертикальная прямая, проходящая через его середину. Уравнение этой прямой — $x=2$.

4. Искомая точка C — это точка пересечения прямой $c$ и серединного перпендикуляра $x=2$. Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты $(2, 3)$.

На рисунке ниже показано построение. Серединный перпендикуляр к AB показан зеленой пунктирной линией. Точка C — это пересечение этой линии с прямой c. Серыми пунктирными линиями показаны равные отрезки AC и BC.

Для проверки можно вычислить длины отрезков $AC$ и $BC$ по формуле расстояния между двумя точками $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$AC = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

Поскольку $AC = BC$, точка $C$ найдена верно.

Ответ: Искомая точка C построена на рисунке.

б) Выполним построение для случая б), используя тот же метод. Введем аналогичную систему координат.

1. Координаты точек: $A(1, 3)$ и $B(4, 1)$.

2. Найдем середину отрезка AB — точку M: $M(\frac{1+4}{2}; \frac{3+1}{2}) = M(2.5; 2)$.

3. Найдем угловой коэффициент (наклон) прямой AB: $k_{AB} = \frac{1-3}{4-1} = -\frac{2}{3}$.

4. Угловой коэффициент серединного перпендикуляра $k_{\perp}$ связан с $k_{AB}$ соотношением $k_{\perp} \cdot k_{AB} = -1$. Отсюда $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-2/3} = \frac{3}{2}$.

5. Серединный перпендикуляр — это прямая, проходящая через точку $M(2.5; 2)$ с угловым коэффициентом $k_{\perp} = \frac{3}{2}$.

6. Прямая c в данном случае является вертикальной прямой $x=3$. Искомая точка C имеет абсциссу $x=3$. Для нахождения ординаты точки C подставим ее абсциссу в уравнение серединного перпендикуляра $y - y_M = k_{\perp}(x - x_M)$:

$y - 2 = \frac{3}{2}(3 - 2.5) = \frac{3}{2} \cdot 0.5 = \frac{3}{4} = 0.75$.

Отсюда $y = 2 + 0.75 = 2.75$. Таким образом, координаты точки $C$ — $(3; 2.75)$.

На рисунке ниже показано построение. Серединный перпендикуляр к AB показан зеленой пунктирной линией.

Ответ: Искомая точка C построена на рисунке.