Страница 124 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Как вы думаете, около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Изобразите окружности, описанные около остроугольного и тупоугольного треугольников.

Как вы думаете, во всякий ли треугольник можно вписать окружность?

Изобразите окружности, вписанные в остроугольный и тупоугольный треугольники.

Как вы думаете, около всякого ли треугольника можно описать окружность?

Да, около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Центр этой окружности является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр – это прямая, проходящая через середину стороны перпендикулярно ей. Все три серединных перпендикуляра треугольника всегда пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех трёх вершин треугольника. Расстояние от этой точки до любой из вершин является радиусом описанной окружности. Формула для радиуса описанной окружности $R$ через стороны треугольника $a, b, c$ и его площадь $S$ выглядит так: $R = \frac{abc}{4S}$.

Ответ: Да, около всякого треугольника можно описать окружность.

Изобразите окружности, описанные около остроугольного и тупоугольного треугольников.

Центр описанной окружности остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Центр описанной окружности тупоугольного треугольника находится вне треугольника. (Для справки: центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы).

Окружность, описанная около остроугольного треугольника (центр О - внутри):

Окружность, описанная около тупоугольного треугольника (центр О - вне):

Ответ: Изображения представлены выше. На них показано расположение центра описанной окружности для остроугольного и тупоугольного треугольников.

Как вы думаете, во всякий ли треугольник можно вписать окружность?

Да, в любой треугольник можно вписать окружность, причём только одну. Центр этой окружности, называемый инцентром, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса — это луч, выходящий из вершины угла и делящий его пополам. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка равноудалена от всех трёх сторон треугольника. Расстояние от инцентра до любой из сторон является радиусом вписанной окружности. Формула для радиуса вписанной окружности $r$ через площадь $S$ и полупериметр $p = (a+b+c)/2$ выглядит так: $r = \frac{S}{p}$.

Ответ: Да, во всякий треугольник можно вписать окружность.

Изобразите окружности, вписанные в остроугольный и тупоугольный треугольники.

Центр вписанной окружности (инцентр) всегда находится внутри треугольника, независимо от его вида (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

Окружность, вписанная в остроугольный треугольник (центр I - внутри):

Окружность, вписанная в тупоугольный треугольник (центр I - внутри):

Ответ: Изображения представлены выше. Они показывают, что центр вписанной окружности всегда находится внутри треугольника.