Номер 21.11, страница 122 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

21.11. Населенные пункты $M$, $N$, $K$ не расположены на одной прямой (рис. 21.10). Каким образом следует проложить через пункт $N$ прямолинейную дорогу, одинаково удаленную от пунктов $M$ и $K$?

Рис. 21.10

Пусть искомая прямолинейная дорога — это прямая $a$. По условию задачи, эта прямая должна проходить через точку $N$, и расстояния от точек $M$ и $K$ до прямой $a$ должны быть равны. Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Геометрически, множество всех прямых, равноудаленных от двух данных точек ($M$ и $K$), состоит из двух типов:

1. Прямые, проходящие через середину отрезка, соединяющего эти точки ($MK$).

2. Прямые, параллельные прямой, проходящей через эти точки ($MK$).

Поскольку искомая дорога должна проходить через точку $N$, необходимо найти прямые из этих двух семейств, которые также содержат точку $N$. Таким образом, задача имеет два решения.

Способ 1. Дорога проходит через середину отрезка MK.

В этом случае точки $M$ и $K$ будут лежать по разные стороны от дороги.

Построение:
1. Соединить точки $M$ и $K$ отрезком $MK$.
2. Найти точку $O$ — середину отрезка $MK$.
3. Провести прямую $a_1$ через точки $N$ и $O$. Эта прямая и является одной из искомых дорог.

Доказательство:
Опустим из точек $M$ и $K$ перпендикуляры $MM'$ и $KK'$ на прямую $a_1$. Рассмотрим треугольники $\triangle MM'O$ и $\triangle KK'O$. Они прямоугольные, так как $MM' \perp a_1$ и $KK' \perp a_1$. Гипотенузы $MO$ и $KO$ равны, поскольку $O$ — середина отрезка $MK$. Углы $\angle M'OM$ и $\angle K'OK$ равны как вертикальные. Следовательно, $\triangle MM'O = \triangle KK'O$ по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство катетов: $MM' = KK'$. Таким образом, прямая $a_1$ равноудалена от точек $M$ и $K$.

Ответ: Нужно соединить точки $M$ и $K$, найти середину этого отрезка, а затем провести дорогу через найденную середину и точку $N$.

Способ 2. Дорога параллельна прямой MK.

В этом случае точки $M$ и $K$ будут лежать по одну сторону от дороги.

Построение:
1. Провести прямую через точки $M$ и $K$.
2. Через точку $N$ провести прямую $a_2$, параллельную прямой $MK$. Эта прямая и является второй искомой дорогой.

Доказательство:
Поскольку прямая $a_2$ параллельна прямой $MK$, расстояние от любой точки прямой $MK$ до прямой $a_2$ одинаково. Следовательно, расстояние от точки $M$ до прямой $a_2$ равно расстоянию от точки $K$ до прямой $a_2$.

Ответ: Нужно провести прямую через точки $M$ и $K$, а затем проложить дорогу через точку $N$ параллельно этой прямой.