Номер 20.8, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 20. Взаимное расположение двух окружностей. Глава 4. Окружность. Геометрические построения - номер 20.8, страница 116.

Условие.

20.8. Расстояние между центрами двух окружностей равно $d$ и больше суммы их радиусов $R_1$ и $R_2$. Найдите наименьшее и наибольшее расстояния между точками, расположенными на данных окружностях.

Решение.

Решение 2.

Пусть центры двух окружностей — точки $O_1$ и $O_2$, а их радиусы — $R_1$ и $R_2$ соответственно. Расстояние между центрами $O_1O_2 = d$. По условию $d > R_1 + R_2$, что означает, что окружности не пересекаются и одна не лежит внутри другой. Требуется найти наименьшее и наибольшее расстояние между точкой $A$, лежащей на первой окружности, и точкой $B$, лежащей на второй окружности.

Рассмотрим расположение окружностей и точек, в которых достигаются искомые расстояния. Эти точки лежат на прямой, проходящей через центры окружностей $O_1$ и $O_2$.

Наименьшее расстояние

Наименьшее расстояние между двумя окружностями достигается между точками $A$ и $B$, которые лежат на отрезке, соединяющем центры $O_1$ и $O_2$. Эти точки являются ближайшими друг к другу точками на своих окружностях. Расстояние между центрами $O_1O_2$ равно $d$. Этот отрезок можно представить как сумму трех отрезков: $O_1A$, $AB$ и $BO_2$. $O_1O_2 = O_1A + AB + BO_2$. Длина отрезка $O_1A$ равна радиусу первой окружности $R_1$. Длина отрезка $BO_2$ равна радиусу второй окружности $R_2$. Подставим эти значения в равенство: $d = R_1 + AB + R_2$. Отсюда можем выразить искомое наименьшее расстояние $AB$: $AB = d - R_1 - R_2$.
Ответ: Наименьшее расстояние равно $d - R_1 - R_2$.

Наибольшее расстояние

Наибольшее расстояние между точками окружностей также достигается на прямой, проходящей через центры $O_1$ и $O_2$. Эти точки, обозначенные на рисунке как $C$ и $D$, являются самыми удаленными друг от друга. Точка $C$ лежит на первой окружности, а точка $D$ — на второй. При этом центры $O_1$ и $O_2$ находятся между точками $C$ и $D$. Расстояние $CD$ равно сумме длин трех отрезков: $CO_1$, $O_1O_2$ и $O_2D$. $CD = CO_1 + O_1O_2 + O_2D$. Длина отрезка $CO_1$ равна радиусу первой окружности $R_1$. Длина отрезка $O_1O_2$ — это расстояние между центрами $d$. Длина отрезка $O_2D$ равна радиусу второй окружности $R_2$. Таким образом, искомое наибольшее расстояние $CD$ равно: $CD = R_1 + d + R_2$.
Ответ: Наибольшее расстояние равно $d + R_1 + R_2$.