Номер 20.12, страница 117 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

20.12. Две окружности с центрами в точках $O_1, O_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$ (рис. 20.11). Докажите, что прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$.

Рис. 20.11

Дано: две окружности с центрами в точках $O_1$ и $O_2$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$.

Требуется доказать: $O_1O_2 \perp AB$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ΔAO_1B$. Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O_1$, отрезки $O_1A$ и $O_1B$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $O_1A = O_1B$. Это означает, что точка $O_1$ равноудалена от точек $A$ и $B$, а треугольник $ΔAO_1B$ является равнобедренным.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ΔAO_2B$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O_2$, поэтому $O_2A = O_2B$ как радиусы второй окружности. Следовательно, точка $O_2$ также равноудалена от точек $A$ и $B$, а треугольник $ΔAO_2B$ является равнобедренным.

3. Рассмотрим четырехугольник $O_1AO_2B$. У него смежные стороны попарно равны: $O_1A = O_1B$ и $O_2A = O_2B$. Такой четырехугольник является дельтоидом. Отрезки $O_1O_2$ и $AB$ — его диагонали.

4. Рассмотрим треугольники $ΔO_1AO_2$ и $ΔO_1BO_2$.

• $O_1A = O_1B$ (как радиусы первой окружности).
• $O_2A = O_2B$ (как радиусы второй окружности).
• $O_1O_2$ — общая сторона.

Следовательно, $ΔO_1AO_2 \cong ΔO_1BO_2$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AO_1O_2 = \angle BO_1O_2$. Это означает, что луч $O_1O_2$ является биссектрисой угла $\angle AO_1B$.

6. В равнобедренном треугольнике $ΔAO_1B$ ($O_1A = O_1B$) биссектриса, проведенная из вершины $O_1$ к основанию $AB$, является также высотой и медианой.

7. Поскольку отрезок, лежащий на прямой $O_1O_2$, является высотой в треугольнике $ΔAO_1B$, он перпендикулярен основанию $AB$. Таким образом, прямая $O_1O_2$ перпендикулярна прямой $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.