Страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Какая прямая называется секущей для двух данных прямых?

2. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.

3. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

4. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку плоскости?

1. Какая прямая называется секущей для двух данных прямых?

Прямая называется секущей по отношению к двум другим прямым, если она пересекает эти прямые в двух различных точках.

На рисунке ниже прямая c является секущей для прямых a и b, так как она пересекает прямую a в одной точке и прямую b в другой точке.

Ответ: Секущей для двух данных прямых называется прямая, которая пересекает эти две прямые в двух разных точках.

2. Сформулируйте признак параллельности двух прямых.

Признаки параллельности двух прямых — это утверждения, которые позволяют сделать вывод о параллельности двух прямых на основе углов, образованных при их пересечении третьей прямой (секущей). Пусть прямые a и b пересечены секущей c. При этом образуется 8 углов, которые имеют специальные названия.

Существует три основных признака параллельности:

1. По накрест лежащим углам: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Накрест лежащие углы — это пары $\angle 3$ и $\angle 5$; $\angle 4$ и $\angle 6$. Таким образом, если $\angle 3 = \angle 5$ или $\angle 4 = \angle 6$, то $a \parallel b$.

2. По соответственным углам: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Соответственные углы — это пары $\angle 1$ и $\angle 5$; $\angle 2$ и $\angle 6$; $\angle 4$ и $\angle 8$; $\angle 3$ и $\angle 7$. Таким образом, если, например, $\angle 1 = \angle 5$, то $a \parallel b$.

3. По односторонним углам: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Односторонние углы — это пары $\angle 4$ и $\angle 5$; $\angle 3$ и $\angle 6$. Таким образом, если $\angle 4 + \angle 5 = 180^\circ$ или $\angle 3 + \angle 6 = 180^\circ$, то $a \parallel b$.

Ответ: Если при пересечении двух прямых секущей: 1) накрест лежащие углы равны, или 2) соответственные углы равны, или 3) сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны.

3. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (также известная как пятый постулат Евклида в одной из его формулировок) является одним из фундаментальных положений евклидовой геометрии. Она формулируется следующим образом:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке показана прямая a и точка M, не принадлежащая этой прямой. Согласно аксиоме, существует единственная прямая b, которая проходит через точку M и параллельна прямой a (т.е. не пересекает ее).

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

4. Сколько прямых, параллельных данной прямой, можно провести через данную точку плоскости?

Ответ на этот вопрос зависит от расположения точки относительно данной прямой. Рассмотрим два случая:

1. Точка не лежит на данной прямой. В этом случае, согласно аксиоме параллельных прямых, через данную точку можно провести только одну прямую, параллельную данной.

2. Точка лежит на данной прямой. В этом случае через данную точку нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. По определению, параллельные прямые не имеют общих точек. Любая другая прямая, проведенная через точку на исходной прямой, будет пересекать исходную прямую в этой точке, а значит, не будет ей параллельна. Иногда в математике считают, что прямая параллельна самой себе, но в стандартном школьном курсе геометрии параллельные прямые — это различные прямые, не имеющие общих точек.

Таким образом, вопрос чаще всего подразумевает первый случай.

Ответ: Если точка не лежит на данной прямой, то через нее можно провести одну прямую, параллельную данной. Если точка лежит на данной прямой, то нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной (если не считать саму прямую).

15.1. При пересечении двух прямых третьей образуется 8 углов.

Сколько из них окажутся тупыми?

При пересечении двух прямых, назовем их a и b, третьей прямой c (называемой секущей), образуется две точки пересечения. В каждой из этих точек образуется по 4 угла. Всего, как и сказано в условии, получается 8 углов.

Рассмотрим сначала одну точку пересечения, например, где прямая c пересекает прямую a. В этой точке образуются 4 угла, которые попарно являются либо вертикальными (и тогда они равны), либо смежными (и тогда их сумма составляет $180^\circ$). В зависимости от угла пересечения прямых a и c возможны два варианта:

1. Если прямые a и c перпендикулярны, то все 4 угла в точке их пересечения — прямые, то есть равны $90^\circ$. Тупой угол — это угол, больший $90^\circ$. Следовательно, в этом случае тупых углов нет (0 тупых углов).

2. Если прямые a и c не перпендикулярны, то при их пересечении образуется одна пара равных острых углов (меньше $90^\circ$) и одна пара равных тупых углов (больше $90^\circ$). Таким образом, в этом случае в точке пересечения будет 2 тупых угла.

Теперь проанализируем всю конфигурацию из трех прямых, учитывая обе точки пересечения. Количество тупых углов — это сумма тупых углов в каждой из двух точек пересечения. Это число зависит от взаимного расположения прямых a, b и c.

Возможны следующие случаи:

Случай 1: Секущая c перпендикулярна обеим прямым a и b. Это означает, что прямые a и b должны быть параллельны друг другу. В каждой из двух точек пересечения образуется по 0 тупых углов. Итого: $0 + 0 = 0$ тупых углов.

Случай 2: Секущая c перпендикулярна одной из прямых (например, a), но не перпендикулярна другой (b). В этом случае в первой точке пересечения будет 0 тупых углов, а во второй — 2 тупых угла. Итого: $0 + 2 = 2$ тупых угла.

Случай 3: Секущая c не перпендикулярна ни прямой a, ни прямой b. Это наиболее общий случай. Тогда в каждой точке пересечения образуется по 2 тупых угла. Итого: $2 + 2 = 4$ тупых угла. Этот случай охватывает как ситуацию с параллельными прямыми a и b, так и с пересекающимися.

Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий общий случай, когда образуется 4 тупых угла.

Таким образом, в зависимости от геометрии прямых, количество тупых углов может быть разным.

Ответ: 0, 2 или 4.

15.2. Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми?

Да, могут.

Рассмотрим две прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей) c. При этом образуется восемь углов. Внутренние односторонние углы — это пара углов, лежащих между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. Таких пар две.

Пусть ∠1 и ∠2 — одна пара внутренних односторонних углов, а ∠3 и ∠4 — вторая пара. При этом углы ∠1 и ∠3 являются смежными (при вершине на прямой a), так же как и углы ∠2 и ∠4 (при вершине на прямой b). Следовательно, их суммы равны 180°:

$∠1 + ∠3 = 180°$

$∠2 + ∠4 = 180°$

Тупым называется угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

Докажем, что одна из пар внутренних односторонних углов может состоять из двух тупых углов.

Известно, что если прямые a и b не параллельны, то они пересекаются. Сумма внутренних односторонних углов на той стороне от секущей, где прямые пересекаются, меньше 180°. Пусть это будут углы ∠3 и ∠4:

$∠3 + ∠4 < 180°$

Очевидно, что в этом случае углы ∠3 и ∠4 не могут быть оба тупыми, так как их сумма превысила бы 180°.

Теперь рассмотрим сумму другой пары внутренних односторонних углов, ∠1 и ∠2. Выразим их через ∠3 и ∠4:

$∠1 = 180° - ∠3$

$∠2 = 180° - ∠4$

Сложим эти равенства:

$∠1 + ∠2 = (180° - ∠3) + (180° - ∠4) = 360° - (∠3 + ∠4)$

Поскольку $∠3 + ∠4 < 180°$, то $-(∠3 + ∠4) > -180°$. Подставив это в выражение для суммы, получим:

$∠1 + ∠2 > 360° - 180° = 180°$

Итак, мы получили, что сумма углов ∠1 и ∠2 больше 180°. Это условие допускает, что оба угла могут быть тупыми (то есть больше 90°).

Например, пусть $∠3 = 70°$ и $∠4 = 80°$. Оба угла острые, и их сумма $70° + 80° = 150° < 180°$.

Тогда соответствующие им внутренние односторонние углы будут равны:

$∠1 = 180° - 70° = 110°$

$∠2 = 180° - 80° = 100°$

Оба угла, $110°$ и $100°$, являются тупыми. Таким образом, оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей могут быть тупыми. Это происходит на той стороне от секущей, где прямые расходятся.

Ответ: Да, могут.

15.3. Могут ли быть равны внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей?

15.4. Могут ли быть углы...

Да, внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей могут быть равны.

Рассмотрим две прямые $a$ и $b$, которые пересечены третьей прямой (секущей) $c$. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ – это внутренние односторонние углы.

Согласно свойству параллельных прямых, если прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$), то сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
$ \angle 1 + \angle 2 = 180^\circ $

Мы хотим выяснить, могут ли эти углы быть равны, то есть может ли выполняться условие $\angle 1 = \angle 2$.

Если мы подставим это условие в предыдущую формулу, получим:
$ \angle 1 + \angle 1 = 180^\circ $
$ 2 \cdot \angle 1 = 180^\circ $
$ \angle 1 = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ $

Таким образом, если $\angle 1 = 90^\circ$, то и $\angle 2 = 90^\circ$.

Это означает, что внутренние односторонние углы могут быть равны, и это происходит в том случае, когда они оба являются прямыми углами. Такая геометрическая ситуация возникает, когда секущая перпендикулярна двум параллельным прямым.


Ответ: да, могут, если они оба являются прямыми углами (по $90^\circ$), что возможно, когда секущая перпендикулярна двум параллельным прямым.

15.4. Могут ли все углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, быть равными между собой?

Да, все углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, могут быть равными между собой. Давайте разберемся, при каком условии это возможно.

Пусть две прямые $a$ и $b$ пересекаются третьей прямой (секущей) $c$. В каждой точке пересечения образуется по четыре угла. Всего таких углов восемь.

Рассмотрим одну точку пересечения, например, где прямая $c$ пересекает прямую $a$. В этой точке образуются четыре угла. Среди них есть пары смежных углов. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Если мы предположим, что все углы в этой точке равны между собой, то это означает, что смежные углы также должны быть равны.

Пусть величина одного из углов равна $\alpha$. Тогда смежный с ним угол будет равен $180^\circ - \alpha$. Чтобы эти углы были равны, должно выполняться условие:
$\alpha = 180^\circ - \alpha$
Решим это уравнение:
$2\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 90^\circ$

Это означает, что для того, чтобы все четыре угла в одной точке пересечения были равны, они все должны быть прямыми, то есть равняться $90^\circ$. В этом случае прямые $a$ и $c$ перпендикулярны.

По условию задачи требуется, чтобы все восемь углов (в обеих точках пересечения) были равны между собой. Следовательно, они все должны быть равны $90^\circ$. Это значит, что секущая $c$ должна быть перпендикулярна не только прямой $a$, но и прямой $b$.

Такая ситуация возможна. Это происходит, когда две параллельные прямые пересекаются перпендикулярной им секущей. В этом случае все восемь образующихся углов являются прямыми и, следовательно, равны друг другу.



Ответ: Да, могут. Это происходит в случае, когда две параллельные прямые пересекаются третьей прямой под прямым углом.

15.5. На клетчатой бумаге через точку $C$ проведите прямую, параллельную прямой $AB$ (рис. 15.4).

а)

б)

в)

Рис. 15.4

Чтобы построить прямую, проходящую через точку $C$ и параллельную прямой $AB$ на клетчатой бумаге, можно использовать метод параллельного переноса или метод "шагов" (углового коэффициента). Суть метода заключается в том, чтобы определить, на сколько клеток по горизонтали и вертикали нужно сместиться, чтобы перейти от одной точки на прямой $AB$ к другой (например, от $A$ к $B$), а затем применить такое же смещение к точке $C$, чтобы найти вторую точку для построения параллельной прямой.

a)Определим смещение от точки $A$ к точке $B$. Мы движемся на 3 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Это можно описать вектором $\vec{v} = (3, 3)$. Чтобы построить параллельную прямую через точку $C$, нужно отложить от нее такой же или пропорциональный вектор. Для удобства можно взять вектор $(1, 1)$. Отступив от точки $C$ на 1 клетку вправо и 1 клетку вверх, мы получим вторую точку, через которую пройдет искомая прямая. Соединив эту точку с точкой $C$, получим прямую, параллельную $AB$.
Ответ:

б)Определим смещение от точки $A$ к точке $B$: 4 клетки вправо и 2 клетки вверх. Вектор смещения $\vec{v} = (4, 2)$. Этот вектор можно упростить (сократить), получив пропорциональный вектор $\vec{u} = (2, 1)$. Это означает, что для движения вдоль прямой $AB$ на каждые 2 клетки вправо мы поднимаемся на 1 клетку вверх. Применим это правило к точке $C$. Отступив от точки $C$ на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх, мы получим вторую точку. Прямая, проведенная через нее и точку $C$, будет параллельна $AB$.
Ответ:

в)Определим смещение от точки $A$ к точке $B$: 1 клетка вправо и 4 клетки вверх. Вектор смещения $\vec{v} = (1, 4)$. Чтобы построить параллельную прямую, нужно отложить этот вектор от точки $C$. Для этого от точки $C$ смещаемся на 1 клетку вправо и 4 клетки вверх. Полученная точка будет лежать на искомой прямой. Также можно двигаться в обратном направлении: 1 клетка влево и 4 клетки вниз от точки $C$. Прямая, проходящая через эти точки, будет параллельна $AB$.
Ответ:

15.6. На рисунке 15.5 укажите пары параллельных прямых.

Рис. 15.5

Для определения пар параллельных прямых на рисунке, представленном на клетчатой бумаге, мы можем использовать координатный метод. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты (наклоны) равны.

Введем систему координат, где оси совпадают с линиями сетки, а начало координат находится в левом нижнем углу. Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

где $\Delta y$ — изменение по вертикали, а $\Delta x$ — изменение по горизонтали.

Горизонтальные прямые p и q

Прямые $p$ и $q$ очевидно являются горизонтальными. Любые две различные горизонтальные прямые на плоскости параллельны друг другу. Их угловой коэффициент равен нулю. Поскольку $k_p = 0$ и $k_q = 0$, то $k_p = k_q$. Следовательно, прямые $p$ и $q$ параллельны.

Прямые e и f

Для прямой $e$ выберем две точки, через которые она проходит, например, $(1, 3)$ и $(3, 5)$. Ее угловой коэффициент равен:

$k_e = \frac{5 - 3}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

Для прямой $f$ выберем точки $(0, 3)$ и $(2, 5)$. Ее угловой коэффициент равен:

$k_f = \frac{5 - 3}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$

Поскольку угловые коэффициенты прямых $e$ и $f$ равны ($k_e = k_f = 1$), эти прямые параллельны.

Прямые c и d

Для прямой $c$ выберем точки $(1, 4)$ и $(4, 0)$. Ее угловой коэффициент равен:

$k_c = \frac{0 - 4}{4 - 1} = -\frac{4}{3}$

Для прямой $d$ выберем точки $(2, 4)$ и $(5, 0)$. Ее угловой коэффициент равен:

$k_d = \frac{0 - 4}{5 - 2} = -\frac{4}{3}$

Поскольку угловые коэффициенты прямых $c$ и $d$ равны ($k_c = k_d = -\frac{4}{3}$), эти прямые также параллельны.

Проверка угловых коэффициентов остальных прямых ($a, b, g, h, r$) показывает, что они не образуют параллельных пар ни друг с другом, ни с уже найденными прямыми.

Ответ: На рисунке есть три пары параллельных прямых: $p \parallel q$, $e \parallel f$ и $c \parallel d$.

15.7. Какие прямые на рисунке 15.6 параллельны?

Рис. 15.5

Прямые: a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r.

Рис. 15.6

Прямые: a, b, c, d.

Углы: $116^\circ$, $64^\circ$, $63^\circ$, $117^\circ$.

Для того чтобы определить, какие прямые на рисунке параллельны, мы воспользуемся признаками параллельности прямых. Вспомним основные из них, которые применяются при пересечении двух прямых третьей (секущей):

• Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
• Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Проанализируем каждую пару прямых, представленных на рисунке, по отдельности.

Проверка параллельности прямых 𝑎 и 𝑏

Сначала проверим, параллельны ли прямые $a$ и $b$.

1. Используем прямую $c$ в качестве секущей. Углы $116^\circ$ и $63^\circ$ являются внутренними односторонними углами. Для параллельности прямых $a$ и $b$ их сумма должна быть равна $180^\circ$.
Найдем сумму: $116^\circ + 63^\circ = 179^\circ$.
Поскольку $179^\circ \neq 180^\circ$, прямые $a$ и $b$ не параллельны.

2. Используем прямую $d$ в качестве секущей. Углы $64^\circ$ и $117^\circ$ также являются внутренними односторонними углами. Проверим их сумму:
$64^\circ + 117^\circ = 181^\circ$.
Поскольку $181^\circ \neq 180^\circ$, это подтверждает, что прямые $a$ и $b$ не параллельны.

Проверка параллельности прямых 𝑐 и 𝑑

Теперь проверим, параллельны ли прямые $c$ и $d$.

1. Используем прямую $a$ в качестве секущей. Нам даны углы $116^\circ$ и $64^\circ$. Рассмотрим внутренние углы, образованные при пересечении прямых $c$ и $d$ секущей $a$.
Внутренний угол при пересечении прямых $a$ и $c$, смежный с углом $116^\circ$, равен $180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
Этот угол ($64^\circ$) и данный угол $64^\circ$ при пересечении прямых $a$ и $d$ являются накрест лежащими углами.
Так как накрест лежащие углы равны ($64^\circ = 64^\circ$), то прямые $c$ и $d$ параллельны.

2. Для дополнительной проверки используем прямую $b$ в качестве секущей. Нам даны углы $63^\circ$ и $117^\circ$.
Рассмотрим внутренний угол при пересечении прямых $b$ и $d$, смежный с углом $117^\circ$. Он равен $180^\circ - 117^\circ = 63^\circ$.
Этот угол ($63^\circ$) и данный угол $63^\circ$ при пересечении прямых $b$ и $c$ являются накрест лежащими углами.
Так как накрест лежащие углы равны ($63^\circ = 63^\circ$), это подтверждает, что прямые $c$ и $d$ параллельны.

Альтернативно для секущей $b$: углы $63^\circ$ и $117^\circ$ являются внутренними односторонними углами. Их сумма равна $63^\circ + 117^\circ = 180^\circ$. Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, прямые $c$ и $d$ параллельны.

Ответ: На рисунке параллельны прямые $c$ и $d$.