Номер 15.2, страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.2. Могут ли оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей быть тупыми?

Да, могут.

Рассмотрим две прямые a и b, пересеченные третьей прямой (секущей) c. При этом образуется восемь углов. Внутренние односторонние углы — это пара углов, лежащих между прямыми a и b и по одну сторону от секущей c. Таких пар две.

Пусть ∠1 и ∠2 — одна пара внутренних односторонних углов, а ∠3 и ∠4 — вторая пара. При этом углы ∠1 и ∠3 являются смежными (при вершине на прямой a), так же как и углы ∠2 и ∠4 (при вершине на прямой b). Следовательно, их суммы равны 180°:

$∠1 + ∠3 = 180°$

$∠2 + ∠4 = 180°$

Тупым называется угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

Докажем, что одна из пар внутренних односторонних углов может состоять из двух тупых углов.

Известно, что если прямые a и b не параллельны, то они пересекаются. Сумма внутренних односторонних углов на той стороне от секущей, где прямые пересекаются, меньше 180°. Пусть это будут углы ∠3 и ∠4:

$∠3 + ∠4 < 180°$

Очевидно, что в этом случае углы ∠3 и ∠4 не могут быть оба тупыми, так как их сумма превысила бы 180°.

Теперь рассмотрим сумму другой пары внутренних односторонних углов, ∠1 и ∠2. Выразим их через ∠3 и ∠4:

$∠1 = 180° - ∠3$

$∠2 = 180° - ∠4$

Сложим эти равенства:

$∠1 + ∠2 = (180° - ∠3) + (180° - ∠4) = 360° - (∠3 + ∠4)$

Поскольку $∠3 + ∠4 < 180°$, то $-(∠3 + ∠4) > -180°$. Подставив это в выражение для суммы, получим:

$∠1 + ∠2 > 360° - 180° = 180°$

Итак, мы получили, что сумма углов ∠1 и ∠2 больше 180°. Это условие допускает, что оба угла могут быть тупыми (то есть больше 90°).

Например, пусть $∠3 = 70°$ и $∠4 = 80°$. Оба угла острые, и их сумма $70° + 80° = 150° < 180°$.

Тогда соответствующие им внутренние односторонние углы будут равны:

$∠1 = 180° - 70° = 110°$

$∠2 = 180° - 80° = 100°$

Оба угла, $110°$ и $100°$, являются тупыми. Таким образом, оба внутренних односторонних угла при пересечении двух прямых третьей могут быть тупыми. Это происходит на той стороне от секущей, где прямые расходятся.

Ответ: Да, могут.